Страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

527. Население города за два года увеличилось с 40 000 жителей до 44 100.

Найдите средний ежегодный процент прироста населения в этом городе.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов. Пусть $P_0$ — начальное количество жителей, $P_n$ — количество жителей через $n$ лет, а $r$ — средний ежегодный процент прироста.

Формула для расчета населения через $n$ лет выглядит следующим образом: $P_n = P_0 \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

В нашем случае:

• Начальное население $P_0 = 40000$ жителей.
• Население через два года $P_2 = 44100$ жителей.
• Количество лет $n = 2$.
• Средний ежегодный процент прироста $r$ — искомая величина.

Подставим известные значения в формулу: $44100 = 40000 \cdot (1 + \frac{r}{100})^2$

Теперь решим это уравнение относительно $r$.

1. Разделим обе части уравнения на 40 000: $(1 + \frac{r}{100})^2 = \frac{44100}{40000}$

2. Сократим дробь в правой части: $(1 + \frac{r}{100})^2 = \frac{441}{400}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет о приросте населения, нас интересует только положительное значение корня: $1 + \frac{r}{100} = \sqrt{\frac{441}{400}}$

4. Вычислим значение корня: $1 + \frac{r}{100} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{400}} = \frac{21}{20}$

5. Преобразуем дробь $\frac{21}{20}$ в десятичную: $1 + \frac{r}{100} = 1.05$

6. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $\frac{r}{100} = 1.05 - 1$ $\frac{r}{100} = 0.05$

7. Умножим обе части на 100, чтобы найти $r$: $r = 0.05 \cdot 100$ $r = 5$

Таким образом, средний ежегодный процент прироста населения в этом городе составляет 5%.

Ответ: 5%.

528. Вследствие двух последовательных снижений цены на одно и то же количество процентов цена кресла снизилась с 1600 р. до 1156 р. На сколько процентов происходило каждый раз снижение цены?

Пусть первоначальная цена кресла составляет $1600$ рублей. Обозначим процент, на который цена снижалась каждый раз, через $x$.

Когда цена снижается на $x$ процентов, ее новая стоимость составляет $(100 - x)\%$ от предыдущей. Это можно выразить как умножение на коэффициент $k = (1 - \frac{x}{100})$.

После первого снижения цена станет:
$P_1 = 1600 \cdot (1 - \frac{x}{100})$

После второго такого же снижения цена станет:
$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 1600 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 1600 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$

По условию задачи, конечная цена составила $1156$ рублей. Составим уравнение:
$1600 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2 = 1156$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 1600:
$(1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{1156}{1600}$

Можно заметить, что числитель и знаменатель являются полными квадратами: $1156 = 34^2$ и $1600 = 40^2$. Сократим дробь $\frac{34}{40} = \frac{17}{20}$.
Таким образом:
$(1 - \frac{x}{100})^2 = (\frac{17}{20})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет о снижении цены, коэффициент $(1 - \frac{x}{100})$ должен быть положительным, поэтому мы рассматриваем только положительный корень:
$1 - \frac{x}{100} = \frac{17}{20}$

Теперь найдем $x$. Выразим $\frac{x}{100}$:
$\frac{x}{100} = 1 - \frac{17}{20}$
$\frac{x}{100} = \frac{20}{20} - \frac{17}{20}$
$\frac{x}{100} = \frac{3}{20}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 100:
$x = \frac{3}{20} \cdot 100 = 3 \cdot 5 = 15$

Следовательно, каждый раз цена снижалась на 15%.

Ответ: 15%.

529. Было 300 г 6-процентного раствора соли. Через некоторое время 50 г воды испарили. Каким стало процентное содержание соли в растворе?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем массу соли в исходном растворе.

Масса всего раствора составляет 300 г, а концентрация соли в нем — 6%. Чтобы найти массу соли, нужно общую массу раствора умножить на процентное содержание, выраженное в виде десятичной дроби.

Масса соли = $300 \text{ г} \cdot 0.06 = 18$ г.

Важно отметить, что при испарении воды масса самой соли не изменяется.

2. Найдем массу раствора после испарения.

Из начального раствора испарилось 50 г воды. Следовательно, общая масса раствора уменьшилась на эту величину.

Новая масса раствора = $300 \text{ г} - 50 \text{ г} = 250$ г.

3. Рассчитаем новое процентное содержание соли.

Теперь в 250 г нового раствора содержится 18 г соли. Чтобы найти новую концентрацию, нужно массу соли разделить на новую массу раствора и умножить на 100%.

Новое процентное содержание = $\frac{\text{масса соли}}{\text{новая масса раствора}} \cdot 100\% = \frac{18}{250} \cdot 100\%$.

Выполним вычисления:

$\frac{18}{250} \cdot 100 = \frac{1800}{250} = \frac{180}{25} = 7.2\%$.

Таким образом, процентное содержание соли в растворе стало равно 7,2%.

Ответ: 7,2%.

530. К сплаву массой 600 г, содержавшему 12 % серебра, добавили 60 г серебра. Каким стало процентное содержание серебра в новом сплаве?

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем массу серебра в исходном сплаве.
Масса сплава составляет 600 г, а содержание серебра в нем — 12%. Чтобы найти массу чистого серебра, нужно общую массу сплава умножить на процентное содержание, выраженное в долях:
$m_{серебра\_1} = 600 \text{ г} \times \frac{12}{100} = 600 \times 0.12 = 72 \text{ г}$

2. Определим массу нового сплава и общую массу серебра в нем.
К исходному сплаву добавили 60 г серебра.
Новая общая масса сплава:
$M_{сплава\_2} = 600 \text{ г} + 60 \text{ г} = 660 \text{ г}$
Новая общая масса серебра в сплаве:
$m_{серебра\_2} = 72 \text{ г} + 60 \text{ г} = 132 \text{ г}$

3. Вычислим процентное содержание серебра в новом сплаве.
Для этого необходимо разделить новую массу серебра на новую массу всего сплава и умножить результат на 100%:
Процентное содержание = $\frac{m_{серебра\_2}}{M_{сплава\_2}} \times 100\%$
Процентное содержание = $\frac{132 \text{ г}}{660 \text{ г}} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: 20%.

531. В саду росли яблони и вишни, причём яблони составляли $42\%$ всех деревьев. Вишен было на 48 деревьев больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду?

Для решения задачи примем общее количество деревьев в саду за 100%.

1. Найдём долю вишен в саду.
Известно, что яблони составляют 42% всех деревьев. Поскольку в саду растут только яблони и вишни, то процент вишен можно найти, вычтя процент яблонь из общего количества:
$100\% - 42\% = 58\%$
Следовательно, вишни составляют 58% всех деревьев.

2. Найдём разницу в процентах между вишнями и яблонями.
Теперь определим, на сколько процентов вишен больше, чем яблонь:
$58\% - 42\% = 16\%$

3. Найдём общее количество деревьев.
По условию, разница в количестве деревьев составляет 48. Мы выяснили, что эта разница в 48 деревьев соответствует 16% от общего числа деревьев в саду. Обозначим общее количество деревьев через $x$. Тогда можно составить уравнение, переведя проценты в десятичную дробь ($16\% = 0.16$):
$0.16 \cdot x = 48$
Решим уравнение, чтобы найти $x$:
$x = \frac{48}{0.16}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{4800}{16}$
$x = 300$
Таким образом, всего в саду росло 300 деревьев.

Ответ: 300 деревьев.

532. За два дня проложили кабель. В первый день проложили $56 \ \%$ кабеля, а во второй – на 132 м меньше, чем в первый. Сколько всего метров кабеля проложили за два дня?

Для решения задачи обозначим общую длину кабеля, проложенного за два дня, через $x$ метров. Это составляет 100% всей работы.

1. Найдем, какую часть кабеля в процентах проложили во второй день. Поскольку в первый день проложили 56%, то на второй день приходится:$100\% - 56\% = 44\%$

2. Теперь найдем разницу в процентах между количеством кабеля, проложенного в первый и во второй день:$56\% - 44\% = 12\%$

3. Из условия задачи мы знаем, что эта разница составляет 132 метра. То есть, 12% от общей длины кабеля равны 132 метрам.

4. Составим пропорцию или уравнение, чтобы найти общую длину кабеля $x$. Если 12% — это 132 метра, то 100% — это $x$ метров.Выразим 12% в виде десятичной дроби: $12\% = 0.12$.Получаем уравнение:$0.12 \cdot x = 132$

5. Решим уравнение относительно $x$:$x = \frac{132}{0.12}$Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:$x = \frac{13200}{12}$$x = 1100$

Следовательно, общая длина кабеля, проложенного за два дня, составляет 1100 метров.

Ответ: 1100 метров.

533. В первый день мальчик прочитал 25 % всей книги, во второй – 72 % от оставшегося количества страниц, а в третий – остальные 84 страницы. Сколько страниц в книге?

Для решения этой задачи удобнее всего производить вычисления в обратном порядке, начиная с информации о последнем дне чтения.

1. В третий день мальчик прочитал 84 страницы. Согласно условию, во второй день он прочитал 72% от количества страниц, оставшихся после первого дня. Это означает, что 84 страницы, прочитанные в третий день, составляют оставшуюся часть от этого количества. Вычислим, какую долю в процентах составляют эти 84 страницы:

$100\% - 72\% = 28\%$

Итак, 84 страницы — это 28% от того количества страниц, которое оставалось прочитать после первого дня. Теперь мы можем найти, сколько всего страниц оставалось после первого дня (примем это количество за 100%):

$\frac{84}{28} \times 100 = 3 \times 100 = 300$ страниц.

Таким образом, после первого дня в книге оставалось 300 страниц.

2. В первый день мальчик прочитал 25% всей книги. Следовательно, 300 страниц, которые остались после первого дня, составляют оставшуюся часть от всей книги. Вычислим, какую долю в процентах от всей книги составляют эти 300 страниц:

$100\% - 25\% = 75\%$

Теперь мы знаем, что 300 страниц — это 75% всей книги. Найдем общее количество страниц в книге (примем его за 100%):

$\frac{300}{75} \times 100 = 4 \times 100 = 400$ страниц.

Проверка:

• Всего страниц в книге: 400.
• День 1: мальчик прочитал 25% от 400 страниц: $400 \times 0.25 = 100$ страниц. Осталось: $400 - 100 = 300$ страниц.
• День 2: мальчик прочитал 72% от оставшихся 300 страниц: $300 \times 0.72 = 216$ страниц. Осталось: $300 - 216 = 84$ страницы.
• День 3: мальчик прочитал оставшиеся 84 страницы.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 400 страниц.

534. В магазин завезли три вида мороженого: шоколадное, клубничное и ванильное. Шоколадное составляло $45\%$ массы всего мороженого, клубничное – $40\%$ массы шоколадного, а ванильное – остальные 111 кг. Сколько всего килограммов мороженого завезли в магазин?

Для решения задачи примем общую массу всего мороженого за $x$ кг.

1. Найдем долю каждого вида мороженого от общей массы.

Масса шоколадного мороженого составляет 45% от общей массы. В долях это $0.45$. Таким образом, масса шоколадного мороженого равна $0.45x$ кг.

Масса клубничного мороженого составляет 40% от массы шоколадного. Найдем, какую долю от общей массы составляет клубничное мороженое. Для этого умножим долю шоколадного мороженого на долю клубничного от шоколадного:
$0.45 \cdot 40\% = 0.45 \cdot 0.40 = 0.18$.
Следовательно, масса клубничного мороженого составляет 18% от общей массы, или $0.18x$ кг.

Масса ванильного мороженого составляет оставшуюся часть. Сначала найдем, какую долю от общей массы занимают шоколадное и клубничное мороженое вместе:
$45\% + 18\% = 63\%$.
Тогда доля ванильного мороженого от общей массы равна:
$100\% - 63\% = 37\%$.

2. Составим и решим уравнение.

Мы выяснили, что 111 кг ванильного мороженого составляют 37% от общей массы $x$. Выразим 37% в виде десятичной дроби: $37\% = 0.37$. Теперь можно составить уравнение:
$0.37x = 111$

Найдем $x$, разделив массу ванильного мороженого на его долю в общей массе:
$x = \frac{111}{0.37}$
$x = 300$

Таким образом, общая масса всего мороженого, завезенного в магазин, составляет 300 кг.

3. Проверка.

Найдем массу каждого вида мороженого, исходя из общей массы 300 кг:
Шоколадное: $300 \cdot 0.45 = 135$ кг.
Клубничное: $135 \cdot 0.40 = 54$ кг.
Ванильное: 111 кг (по условию).
Сумма масс: $135 + 54 + 111 = 300$ кг.
Результат совпадает с найденной общей массой.

Ответ: всего в магазин завезли 300 килограммов мороженого.

535. Морская вода содержит $5 \%$ соли. Сколько пресной воды надо добавить к $40 \text{ кг}$ морской воды, чтобы концентрация соли составила $2 \%$?

Для решения этой задачи нужно исходить из того, что масса соли в растворе не меняется при добавлении пресной воды. Изменяется только общая масса раствора и, как следствие, процентное содержание соли.

1. Сначала найдем массу соли, которая содержится в 40 кг морской воды.
Масса морской воды — $40$ кг.
Концентрация соли — $5\%$.
Масса соли ($m_{соли}$) вычисляется как произведение массы раствора на концентрацию:
$m_{соли} = 40 \text{ кг} \times 5\% = 40 \times \frac{5}{100} = 40 \times 0.05 = 2 \text{ кг.}$
Итак, в исходном растворе содержится 2 кг соли.

2. Теперь составим уравнение для нового раствора.
Пусть $x$ — это масса пресной воды (в кг), которую необходимо добавить.
После добавления пресной воды новая общая масса раствора станет $(40 + x)$ кг.
Масса соли при этом останется прежней — 2 кг.
По условию, новая концентрация соли должна составить $2\%$.
Формула для концентрации:
$\text{Концентрация} = \frac{\text{Масса соли}}{\text{Общая масса раствора}} \times 100\%$
Подставим наши значения в формулу:
$2\% = \frac{2}{40 + x} \times 100\%$

3. Решим полученное уравнение относительно $x$.
Для удобства вычислений представим проценты в виде десятичной дроби: $2\% = 0.02$.
$0.02 = \frac{2}{40 + x}$
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(40 + x)$:
$0.02 \times (40 + x) = 2$
Раскроем скобки:
$0.02 \times 40 + 0.02 \times x = 2$
$0.8 + 0.02x = 2$
Перенесем $0.8$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$0.02x = 2 - 0.8$
$0.02x = 1.2$
Найдем $x$:
$x = \frac{1.2}{0.02} = \frac{120}{2} = 60$
Следовательно, чтобы концентрация соли стала 2%, необходимо добавить 60 кг пресной воды.

Ответ: 60 кг.

536. (Задача Безу¹.) Некто купил коня и через некоторое время продал его за 24 пистоля. При продаже он потерял столько процентов, сколько стоил ему конь. Спрашивается: за какую сумму он купил коня?

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость коня в пистолях. Согласно условию задачи, при продаже коня была понесена потеря в размере $x$ процентов от его первоначальной стоимости.

Сумма убытка составляет $x\%$ от $x$, что можно выразить формулой:

Убыток = $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ пистолей.

Цена продажи равна первоначальной цене минус убыток. По условию, конь был продан за 24 пистоля. Составим уравнение:

$x - \frac{x^2}{100} = 24$

Для решения этого уравнения умножим все его части на 100, чтобы избавиться от дроби:

$100x - x^2 = 2400$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-100$, $c=2400$.

$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два возможных значения для первоначальной цены коня: 40 и 60 пистолей. Необходимо выполнить проверку для обоих вариантов.

1. Если первоначальная цена коня составляла 40 пистолей, то процент убытка также равен 40%.
Сумма убытка: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей.
Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля.
Этот результат полностью соответствует условию задачи.

2. Если первоначальная цена коня составляла 60 пистолей, то процент убытка также равен 60%.
Сумма убытка: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей.
Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля.
Этот результат также полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения, так как оба найденных значения удовлетворяют всем условиям.

Ответ: конь был куплен за 40 пистолей или за 60 пистолей.

537. Фирма покупает у производителя товар по оптовой цене, а продаёт в розницу по 11 р., при этом прибыль от продажи в процентах равна оптовой цене товара в рублях. Какова оптовая цена товара?

Пусть оптовая цена товара составляет $x$ рублей.

Согласно условию задачи, прибыль от продажи в процентах равна оптовой цене товара в рублях. Это означает, что торговая наценка составляет $x\%$. Прибыль в процентах вычисляется от оптовой (закупочной) цены.

Розничная цена (11 рублей) складывается из оптовой цены и прибыли:

Розничная цена = Оптовая цена + Прибыль

Прибыль в рублях можно выразить как $x\%$ от оптовой цены $x$:

Прибыль = $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$

Теперь составим уравнение, подставив все известные и неизвестные величины:

$11 = x + \frac{x^2}{100}$

Для решения уравнения умножим все его части на 100, чтобы избавиться от дроби:

$11 \cdot 100 = x \cdot 100 + \frac{x^2}{100} \cdot 100$

$1100 = 100x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 100x - 1100 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1, b=100, c=-1100$.

$D = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1100) = 10000 + 4400 = 14400$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-100 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-100 + 120}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-100 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-100 - 120}{2} = \frac{-220}{2} = -110$

Поскольку цена товара не может быть отрицательной, корень $x_2 = -110$ не соответствует условию задачи. Следовательно, единственное подходящее решение — $x=10$.

Таким образом, оптовая цена товара составляет 10 рублей.

Ответ: 10 рублей.

538. На старом станке рабочий изготавливал одну деталь за 20 мин, а на новом — за 8 мин. На сколько процентов выросла производительность труда рабочего?

Для того чтобы найти, на сколько процентов выросла производительность труда, необходимо сначала вычислить производительность рабочего на старом и новом станках. Производительность — это количество продукции (деталей), произведенной за единицу времени.

1. Вычисление производительности труда.
Производительность можно выразить как количество деталей в минуту.

• На старом станке время изготовления одной детали составляло 20 минут. Следовательно, производительность на старом станке ($P_{старая}$) равна:
  $P_{старая} = \frac{1 \text{ деталь}}{20 \text{ мин}} = \frac{1}{20}$ деталей/мин.
• На новом станке время изготовления одной детали составляет 8 минут. Производительность на новом станке ($P_{новая}$) равна:
  $P_{новая} = \frac{1 \text{ деталь}}{8 \text{ мин}} = \frac{1}{8}$ деталей/мин.

2. Расчет процентного роста производительности.
Чтобы найти процентное изменение, нужно разницу между новой и старой производительностью разделить на старую производительность и умножить результат на 100%.
Формула процентного роста: $\text{Рост} = \frac{P_{новая} - P_{старая}}{P_{старая}} \times 100\%$
Подставим наши значения:
$\text{Рост} = \frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{20}}{\frac{1}{20}} \times 100\%$
Найдем разность в числителе, приведя дроби к общему знаменателю (40):
$\frac{1}{8} - \frac{1}{20} = \frac{5}{40} - \frac{2}{40} = \frac{3}{40}$
Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:
$\text{Рост} = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{1}{20}} \times 100\% = \frac{3}{40} \times \frac{20}{1} \times 100\% = \frac{60}{40} \times 100\% = 1.5 \times 100\% = 150\%$

Альтернативный способ.
Можно сравнить количество деталей, сделанных за один и тот же промежуток времени. Найдем наименьшее общее кратное для 20 и 8 — это 40 минут.

• За 40 минут на старом станке рабочий изготовил бы: $40 \text{ мин} \div 20 \text{ мин/деталь} = 2$ детали.
• За 40 минут на новом станке он изготовит: $40 \text{ мин} \div 8 \text{ мин/деталь} = 5$ деталей.

Производительность выросла с 2 деталей до 5 деталей за один и тот же период. Прирост составил $5 - 2 = 3$ детали. Теперь найдем, на сколько процентов выросла производительность, приняв исходное количество (2 детали) за 100%.
$\frac{\text{Прирост}}{\text{Старое количество}} \times 100\% = \frac{3}{2} \times 100\% = 1.5 \times 100\% = 150\%$

Ответ: Производительность труда рабочего выросла на 150%.