Страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

497. Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение масс золота и меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить $ \frac{1}{3} $ первого слитка с $ \frac{5}{6} $ второго, то в полученном слитке окажется столько золота, сколько было меди в первом слитке, а если сплавить $ \frac{2}{3} $ первого слитка и половину второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это масса первого слитка, а $y$ кг — масса второго слитка.

Состав первого слитка (масса $x$ кг):

Отношение массы золота к массе меди равно 1:2. Это значит, что слиток состоит из $1+2=3$ частей.

• Масса золота в первом слитке: $\frac{1}{3}x$ кг.
• Масса меди в первом слитке: $\frac{2}{3}x$ кг.

Состав второго слитка (масса $y$ кг):

Отношение массы золота к массе меди равно 2:3. Это значит, что слиток состоит из $2+3=5$ частей.

• Масса золота во втором слитке: $\frac{2}{5}y$ кг.
• Масса меди во втором слитке: $\frac{3}{5}y$ кг.

Теперь составим систему уравнений на основе двух условий из задачи.

1. Первое условие:

Сплавили $\frac{1}{3}$ первого слитка и $\frac{5}{6}$ второго. Масса золота в полученном сплаве равна массе меди в первом слитке.

Масса золота из $\frac{1}{3}$ первого слитка: $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}x) = \frac{1}{9}x$.

Масса золота из $\frac{5}{6}$ второго слитка: $\frac{5}{6} \cdot (\frac{2}{5}y) = \frac{10}{30}y = \frac{1}{3}y$.

Общая масса золота в новом сплаве: $\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y$.

Эта масса равна массе меди в первом слитке, то есть $\frac{2}{3}x$.

Получаем первое уравнение:

$\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}x$

Упростим его. Умножим все члены на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$x + 3y = 6x$

$3y = 5x$

2. Второе условие:

Сплавили $\frac{2}{3}$ первого слитка и половину ($\frac{1}{2}$) второго. Масса меди в полученном сплаве на 1 кг больше, чем масса золота во втором слитке.

Масса меди из $\frac{2}{3}$ первого слитка: $\frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3}x) = \frac{4}{9}x$.

Масса меди из $\frac{1}{2}$ второго слитка: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{5}y) = \frac{3}{10}y$.

Общая масса меди в новом сплаве: $\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y$.

Эта масса на 1 кг больше массы золота во втором слитке ($\frac{2}{5}y$).

Получаем второе уравнение:

$\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{2}{5}y + 1$

Упростим его. Перенесем члены с $y$ в одну сторону:

$\frac{4}{9}x = \frac{2}{5}y - \frac{3}{10}y + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{4}{10}y - \frac{3}{10}y + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{1}{10}y + 1$

Решение системы уравнений:

Мы имеем систему:

$ \begin{cases} 3y = 5x \\ \frac{4}{9}x = \frac{1}{10}y + 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{5}{3}x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{4}{9}x = \frac{1}{10}(\frac{5}{3}x) + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{5}{30}x + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{1}{6}x + 1$

Перенесем члены с $x$ в левую часть:

$\frac{4}{9}x - \frac{1}{6}x = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{4 \cdot 2}{18}x - \frac{1 \cdot 3}{18}x = 1$

$\frac{8}{18}x - \frac{3}{18}x = 1$

$\frac{5}{18}x = 1$

$x = \frac{18}{5} = 3.6$ кг.

Теперь найдем массу второго слитка $y$:

$y = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot 3.6 = 5 \cdot 1.2 = 6$ кг.

Итак, масса первого слитка $x = 3.6$ кг, а масса второго слитка $y = 6$ кг.

Вопрос задачи: "Сколько золота в каждом слитке?".

Масса золота в первом слитке: $\frac{1}{3}x = \frac{1}{3} \cdot 3.6 = 1.2$ кг.

Масса золота во втором слитке: $\frac{2}{5}y = \frac{2}{5} \cdot 6 = \frac{12}{5} = 2.4$ кг.

Ответ: в первом слитке 1,2 кг золота, а во втором — 2,4 кг золота.

498. Теплоход проходит путь от пункта А до пункта В за 3 ч, а возвращается назад за 4 ч. За какое время проплывёт путь от пункта А до пункта В плот?

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$. Пусть $v_т$ — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде), а $v_р$ — скорость течения реки.

Поскольку на путь от A до B теплоход тратит меньше времени (3 часа), чем на обратный путь (4 часа), то он плывет по течению из A в B и против течения из B в A.

Скорость теплохода по течению (из A в B) равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_т + v_р$.
Скорость теплохода против течения (из B в A) равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_т - v_р$.

Используя формулу пути $S = v \cdot t$, можем составить систему из двух уравнений:

1. Для движения по течению: $S = (v_т + v_р) \cdot 3$
2. Для движения против течения: $S = (v_т - v_р) \cdot 4$

Из этих уравнений выразим скорости:

$v_т + v_р = \frac{S}{3}$
$v_т - v_р = \frac{S}{4}$

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость $v_{плот} = v_р$. Нам нужно найти время $t_{плот}$, за которое плот проплывет расстояние $S$. Это время равно $t_{плот} = \frac{S}{v_р}$. Чтобы найти это время, нам нужно выразить $v_р$ через $S$.

Для этого вычтем из первого уравнения системы второе:

$(v_т + v_р) - (v_т - v_р) = \frac{S}{3} - \frac{S}{4}$

$v_т + v_р - v_т + v_р = \frac{4S - 3S}{12}$

$2v_р = \frac{S}{12}$

$v_р = \frac{S}{24}$

Теперь, зная скорость течения, мы можем найти время, за которое плот проплывет путь от A до B:

$t_{плот} = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ часа.

Ответ: 24 часа.

499. Лодка прошла 34 км по течению реки и 39 км против течения, потратив на это столько времени, сколько ей требуется, чтобы проплыть в стоячей воде 75 км. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), в км/ч.
Пусть $v_т$ — скорость течения реки, в км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $v_л + v_т$, а скорость против течения — $v_л - v_т$.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время, которое лодка плыла по течению (34 км), равно $t_1 = \frac{34}{v_л + v_т}$.
Время, которое лодка плыла против течения (39 км), равно $t_2 = \frac{39}{v_л - v_т}$.

Общее время, затраченное на путь по реке, равно сумме этих времен:
$T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{34}{v_л + v_т} + \frac{39}{v_л - v_т}$

Время, которое требуется лодке, чтобы проплыть 75 км в стоячей воде (то есть с собственной скоростью), равно:
$T_{озеро} = \frac{75}{v_л}$

Согласно условию задачи, эти два времени равны:
$T_{река} = T_{озеро}$
$\frac{34}{v_л + v_т} + \frac{39}{v_л - v_т} = \frac{75}{v_л}$

Нам необходимо найти отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения, то есть величину $\frac{v_л}{v_т}$. Обозначим это отношение переменной $k$:
$k = \frac{v_л}{v_т}$
Отсюда можно выразить $v_л = k \cdot v_т$. Стоит отметить, что для возможности движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения ($v_л > v_т$), а значит, искомое отношение $k$ должно быть больше 1.

Подставим выражение $v_л = k \cdot v_т$ в основное уравнение:
$\frac{34}{k \cdot v_т + v_т} + \frac{39}{k \cdot v_т - v_т} = \frac{75}{k \cdot v_т}$

В знаменателях вынесем $v_т$ за скобки:
$\frac{34}{v_т(k + 1)} + \frac{39}{v_т(k - 1)} = \frac{75}{v_т \cdot k}$

Так как скорость течения $v_т$ не равна нулю, мы можем умножить обе части уравнения на $v_т$, чтобы сократить эту переменную:
$\frac{34}{k + 1} + \frac{39}{k - 1} = \frac{75}{k}$

Теперь решим это уравнение относительно $k$. Приведем левую часть к общему знаменателю $(k + 1)(k - 1) = k^2 - 1$:
$\frac{34(k - 1) + 39(k + 1)}{(k + 1)(k - 1)} = \frac{75}{k}$
$\frac{34k - 34 + 39k + 39}{k^2 - 1} = \frac{75}{k}$
$\frac{73k + 5}{k^2 - 1} = \frac{75}{k}$

Используя правило пропорции (перекрестное умножение), получим:
$k(73k + 5) = 75(k^2 - 1)$
$73k^2 + 5k = 75k^2 - 75$

Соберем все члены уравнения в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$75k^2 - 73k^2 - 5k - 75 = 0$
$2k^2 - 5k - 75 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a = 2, b = -5, c = -75$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдем корни уравнения:
$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 25}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 25}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$
$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 25}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 25}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Так как $k$ — это отношение двух положительных скоростей и, по физическому смыслу задачи, $k > 1$, то корень $k_2 = -5$ является посторонним. Следовательно, искомое отношение равно 7,5.

Ответ: 7,5

500. Из городов A и B, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста, один из которых прибыл в город B через 40 мин, а другой — в город A через 1,5 ч после встречи. Найдите скорость движения каждого велосипедиста.

Пусть $v_1$ — скорость первого велосипедиста, а $v_2$ — скорость второго. Расстояние между городами A и B составляет $S = 40$ км. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу. Пусть первый велосипедист выехал из A, а второй — из B.

Обозначим время, через которое они встретились, как $t_{вст}$. Пусть место встречи — точка C. Тогда расстояние, которое проехал первый велосипедист до встречи, равно $S_{AC} = v_1 \cdot t_{вст}$. Расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи, равно $S_{BC} = v_2 \cdot t_{вст}$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию: $S_{AC} + S_{BC} = 40$ км.

По условию, после встречи один из велосипедистов прибыл в город B через 40 минут, а другой — в город A через 1,5 часа. Переведем время в часы: $t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч. $t_2 = 1.5 \text{ ч} = \frac{3}{2}$ ч.

Пусть первый велосипедист (выехавший из A) прибыл в B через $t_1 = \frac{2}{3}$ ч после встречи. Расстояние, которое он проехал после встречи, — это $S_{BC}$. Следовательно, $S_{BC} = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{2}{3}$.

Тогда второй велосипедист (выехавший из B) прибыл в A через $t_2 = \frac{3}{2}$ ч после встречи. Расстояние, которое он проехал после встречи, — это $S_{AC}$. Следовательно, $S_{AC} = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$:
$v_1 \cdot t_{вст} = v_2 \cdot \frac{3}{2}$ (1)
$v_2 \cdot t_{вст} = v_1 \cdot \frac{2}{3}$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2): $\frac{v_1 \cdot t_{вст}}{v_2 \cdot t_{вст}} = \frac{v_2 \cdot \frac{3}{2}}{v_1 \cdot \frac{2}{3}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{3/2}{2/3}$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{9}{4}$

Умножим обе части на $\frac{v_1}{v_2}$:
$(\frac{v_1}{v_2})^2 = \frac{9}{4}$
Так как скорости — величины положительные, извлекаем квадратный корень:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
Отсюда $v_1 = \frac{3}{2} v_2$.

Теперь используем общее расстояние $S = S_{AC} + S_{BC} = 40$ км. Подставим в него выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$, выведенные из движения после встречи:
$v_2 \cdot \frac{3}{2} + v_1 \cdot \frac{2}{3} = 40$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $v_1 = \frac{3}{2} v_2$:
$v_2 \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2} v_2) \cdot \frac{2}{3} = 40$
$\frac{3}{2} v_2 + v_2 = 40$
$\frac{5}{2} v_2 = 40$
$v_2 = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$ км/ч.

Теперь находим скорость первого велосипедиста:
$v_1 = \frac{3}{2} v_2 = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24$ км/ч.

Ответ: Скорость одного велосипедиста равна 24 км/ч, а скорость другого — 16 км/ч.

501. Из двух пунктов, расстояние между которыми 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый автомобиль прибыл во второй пункт через 1 ч 36 мин после встречи, а второй автомобиль прибыл в первый пункт через 2,5 ч после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей соответственно (в км/ч), а $S = 180$ км — расстояние между пунктами.

Пусть автомобили встретились через $t$ часов после выезда в некоторой точке C. До встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 t$, а второй — $S_2 = v_2 t$. Вместе они проехали всё расстояние, поэтому:

$S_1 + S_2 = 180$

$v_1 t + v_2 t = 180$

После встречи первому автомобилю осталось проехать расстояние $S_2$, которое до встречи проехал второй автомобиль, а второму автомобилю осталось проехать расстояние $S_1$, которое до встречи проехал первый.

По условию, первый автомобиль прибыл в пункт назначения через 1 ч 36 мин после встречи. Переведем это время в часы:

$t_1 = 1 \text{ ч } 36 \text{ мин} = 1 + \frac{36}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{3}{5} \text{ ч} = 1.6 \text{ ч}$

За это время первый автомобиль со скоростью $v_1$ проехал расстояние $S_2$. Таким образом, мы можем записать:

$S_2 = v_1 \cdot t_1 = 1.6 v_1$

Второй автомобиль прибыл в пункт назначения через 2,5 ч после встречи. Обозначим это время как $t_2 = 2.5$ ч. За это время второй автомобиль со скоростью $v_2$ проехал расстояние $S_1$. Таким образом:

$S_1 = v_2 \cdot t_2 = 2.5 v_2$

Теперь мы можем приравнять выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$ до и после встречи:

$v_1 t = S_1 = 2.5 v_2$

$v_2 t = S_2 = 1.6 v_1$

Получили систему из двух уравнений. Выразим $t$ из первого уравнения: $t = \frac{2.5 v_2}{v_1}$.

Подставим это выражение для $t$ во второе уравнение:

$v_2 \left( \frac{2.5 v_2}{v_1} \right) = 1.6 v_1$

$2.5 v_2^2 = 1.6 v_1^2$

Найдем отношение скоростей:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{2.5}{1.6} = \frac{25}{16}$

Так как скорости — величины положительные, извлечем квадратный корень:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$

Отсюда выразим $v_1$ через $v_2$: $v_1 = \frac{5}{4} v_2$.

Общее расстояние $S = S_1 + S_2 = 180$ км. Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$, которые мы получили из данных о движении после встречи:

$2.5 v_2 + 1.6 v_1 = 180$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $v_1 = \frac{5}{4} v_2$:

$2.5 v_2 + 1.6 \left( \frac{5}{4} v_2 \right) = 180$

$2.5 v_2 + \frac{1.6 \cdot 5}{4} v_2 = 180$

$2.5 v_2 + \frac{8}{4} v_2 = 180$

$2.5 v_2 + 2 v_2 = 180$

$4.5 v_2 = 180$

$v_2 = \frac{180}{4.5} = \frac{1800}{45} = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$v_1 = \frac{5}{4} v_2 = \frac{5}{4} \cdot 40 = 5 \cdot 10 = 50$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 50 км/ч, скорость второго автомобиля — 40 км/ч.

502. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 28 км. Отчалив от пристани $A$ против течения в направлении пристани $B$, через 2 ч после начала движения катер встретил плот, отправленный от пристани $B$ по течению реки за 2 ч до начала движения катера. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани $A$ до пристани $B$ и возвращается обратно за 4 ч 48 мин.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч. Расстояние между пристанями А и В равно $S = 28$ км.

Из условия следует, что катер отправился от пристани А против течения в направлении пристани В. Это означает, что течение реки направлено от В к А. Тогда скорость катера против течения составляет $(v_к - v_т)$ км/ч, а скорость катера по течению — $(v_к + v_т)$ км/ч. Скорость плота, плывущего по течению, равна скорости течения, то есть $v_т$ км/ч.

Рассмотрим первое условие: встречу катера и плота. Катер вышел из А и двигался в течение 2 часов до встречи. За это время он прошел расстояние $S_к = 2 \cdot (v_к - v_т)$ км. Плот был отправлен от пристани В за 2 часа до начала движения катера. Следовательно, к моменту встречи с катером он находился в пути $2 + 2 = 4$ часа. За это время плот прошел расстояние $S_п = 4 \cdot v_т$ км. Поскольку они двигались навстречу друг другу из пунктов А и В, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пристанями:

$S_к + S_п = S$

$2(v_к - v_т) + 4v_т = 28$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2v_к - 2v_т + 4v_т = 28$

$2v_к + 2v_т = 28$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_к + v_т = 14$

Это наше первое уравнение. Оно показывает, что скорость катера по течению равна 14 км/ч.

Теперь рассмотрим второе условие: катер проходит расстояние от А до В и возвращается обратно за 4 ч 48 мин. Сначала переведем время в часы: $48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8$ ч. Общее время в пути $T = 4 + 0.8 = 4.8$ ч.

Время, затраченное на путь от А до В (против течения), равно $t_{АВ} = \frac{S}{v_к - v_т} = \frac{28}{v_к - v_т}$.

Время, затраченное на обратный путь от В до А (по течению), равно $t_{ВА} = \frac{S}{v_к + v_т} = \frac{28}{v_к + v_т}$.

Общее время равно сумме времен туда и обратно:

$t_{АВ} + t_{ВА} = T$

$\frac{28}{v_к - v_т} + \frac{28}{v_к + v_т} = 4.8$

Это наше второе уравнение. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_к + v_т = 14 \\ \frac{28}{v_к - v_т} + \frac{28}{v_к + v_т} = 4.8 \end{cases}$

Подставим значение $v_к + v_т = 14$ из первого уравнения во второе:

$\frac{28}{v_к - v_т} + \frac{28}{14} = 4.8$

$\frac{28}{v_к - v_т} + 2 = 4.8$

$\frac{28}{v_к - v_т} = 4.8 - 2$

$\frac{28}{v_к - v_т} = 2.8$

Отсюда находим выражение для скорости катера против течения:

$v_к - v_т = \frac{28}{2.8} = 10$

Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} v_к + v_т = 14 \\ v_к - v_т = 10 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 14 + 10$

$2v_к = 24$

$v_к = 12$

Подставим найденное значение $v_к = 12$ в первое уравнение системы:

$12 + v_т = 14$

$v_т = 14 - 12$

$v_т = 2$

Таким образом, мы нашли искомые скорости.

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость катера — 12 км/ч.

503. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел товарный поезд. Через $5$ ч из пункта $B$ в пункт $A$ вышел пассажирский поезд. Встретились они в пункте $C$. От $C$ до $B$ товарный поезд шёл $4$ ч, а пассажирский от $C$ до $A$ – $6$ ч. За сколько часов каждый поезд может преодолеть путь между $A$ и $B$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_т$ – скорость товарного поезда;
$v_п$ – скорость пассажирского поезда;
$t_т$ – время, которое товарный поезд ехал от пункта А до пункта встречи С;
$t_п$ – время, которое пассажирский поезд ехал от пункта В до пункта встречи С.

Из условия известно, что после встречи в пункте С товарный поезд ехал до пункта В 4 часа, а пассажирский поезд ехал до пункта А 6 часов. Расстояние, которое проехал каждый поезд после встречи, можно выразить так:
Расстояние от С до В: $S_{СВ} = v_т \cdot 4$
Расстояние от С до А: $S_{СА} = v_п \cdot 6$

До момента встречи товарный поезд проехал расстояние $S_{СА}$ за время $t_т$, а пассажирский поезд проехал расстояние $S_{СВ}$ за время $t_п$. Таким образом, мы можем записать:
$S_{СА} = v_т \cdot t_т$
$S_{СВ} = v_п \cdot t_п$

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для одинаковых отрезков пути:
$v_т \cdot t_т = v_п \cdot 6$
$v_т \cdot 4 = v_п \cdot t_п$

Выразим отношение скоростей $\frac{v_т}{v_п}$ из каждого уравнения:
Из первого: $\frac{v_т}{v_п} = \frac{6}{t_т}$
Из второго: $\frac{v_т}{v_п} = \frac{t_п}{4}$

Приравняем правые части полученных выражений:
$\frac{6}{t_т} = \frac{t_п}{4}$
Перемножив крайние и средние члены пропорции, получим:
$t_т \cdot t_п = 6 \cdot 4 = 24$

В условии сказано, что пассажирский поезд вышел из пункта В на 5 часов позже, чем товарный из пункта А. Это значит, что до момента встречи товарный поезд был в пути на 5 часов дольше:
$t_т = t_п + 5$

Подставим это соотношение в уравнение $t_т \cdot t_п = 24$:
$(t_п + 5) \cdot t_п = 24$
$t_п^2 + 5t_п - 24 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -24. Этим условиям удовлетворяют числа -8 и 3. Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $t_п = 3$.
Время движения пассажирского поезда до встречи $t_п = 3$ часа.
Теперь найдем время движения товарного поезда до встречи:
$t_т = t_п + 5 = 3 + 5 = 8$ часов.

Зная время движения каждого поезда до и после встречи, мы можем найти общее время, которое требуется каждому поезду на весь путь.

За сколько часов товарный поезд может преодолеть путь между А и В?
Полное время движения товарного поезда складывается из времени пути от А до С ($t_т$) и времени пути от С до В (4 часа).
$T_т = t_т + 4 \text{ ч} = 8 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 12 \text{ ч}$.
Ответ: 12 часов.

За сколько часов пассажирский поезд может преодолеть путь между А и В?
Полное время движения пассажирского поезда складывается из времени пути от В до С ($t_п$) и времени пути от С до А (6 часов).
$T_п = t_п + 6 \text{ ч} = 3 \text{ ч} + 6 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$.
Ответ: 9 часов.

504. К баку ёмкостью $500 \text{ м}^3$ подведены три трубы. В течение некоторого времени в бак, который сначала был пустым, подавали воду только через первую трубу. Потом первую трубу закрыли и открыли две другие трубы, через которые подавали воду в бак до полного его заполнения. Известно, что вторая и третья трубы были открыты в два раза дольше, чем первая труба. Если бы вторая и третья трубы были открыты 12 ч 30 мин, то через них было бы подано столько же воды, сколько через первую трубу. Сколько времени была открыта первая труба, если известно, что через неё в бассейн ежеминутно поступало 300 л воды?

Для решения задачи введем переменные, приведем все единицы измерения к единой системе (литры и минуты) и составим систему уравнений.

1. Введение переменных и перевод единиц

Пусть $t_1$ — время в минутах, в течение которого была открыта первая труба. Это искомая величина.
Производительность первой трубы $P_1 = 300$ л/мин.
Объем воды, поданный через первую трубу: $V_1 = P_1 \cdot t_1 = 300t_1$.
Время, в течение которого были открыты вторая и третья трубы, $t_{23}$. По условию, $t_{23} = 2t_1$.
Пусть $P_{23}$ — суммарная производительность второй и третьей труб (в л/мин).
Объем воды, поданный через вторую и третью трубы: $V_{23} = P_{23} \cdot t_{23} = P_{23} \cdot 2t_1$.
Общий объем бака: $V_{общ} = 500 \text{ м}^3$. Переведем в литры, зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$:
$V_{общ} = 500 \times 1000 = 500 \ 000 \text{ л}$.

2. Составление системы уравнений

Первое уравнение следует из того, что суммарный объем воды, поданный через все трубы, равен объему бака:
$V_1 + V_{23} = V_{общ}$
$300t_1 + P_{23} \cdot 2t_1 = 500 \ 000$ (1)

Второе уравнение составим из дополнительного условия: "Если бы вторая и третья трубы были открыты 12 ч 30 мин, то через них было бы подано столько же воды, сколько через первую трубу".
Переведем время в минуты: $12 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 12 \times 60 + 30 = 720 + 30 = 750 \text{ мин}$.
Объем воды, который подали бы вторая и третья трубы за это время, равен $P_{23} \cdot 750$.
Этот объем равен объему $V_1$, поданному через первую трубу:
$P_{23} \cdot 750 = V_1 = 300t_1$ (2)

3. Решение системы уравнений

У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($t_1$ и $P_{23}$):
1) $300t_1 + 2P_{23}t_1 = 500 \ 000$
2) $750P_{23} = 300t_1$

Выразим $P_{23}$ из второго уравнения:
$P_{23} = \frac{300t_1}{750} = \frac{30}{75}t_1 = \frac{2}{5}t_1$

Теперь подставим это выражение для $P_{23}$ в первое уравнение:
$300t_1 + 2 \cdot \left(\frac{2}{5}t_1\right) \cdot t_1 = 500 \ 000$
$300t_1 + \frac{4}{5}t_1^2 = 500 \ 000$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t_1$. Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.
$\frac{4}{5}t_1^2 + 300t_1 - 500 \ 000 = 0$
Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
$4t_1^2 + 1500t_1 - 2 \ 500 \ 000 = 0$
Разделим все уравнение на 4 для упрощения:
$t_1^2 + 375t_1 - 625 \ 000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 375^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-625 \ 000) = 140 \ 625 + 2 \ 500 \ 000 = 2 \ 640 \ 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{2 \ 640 \ 625} = 1625$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-375 \pm 1625}{2}$
Первый корень: $t_{1,1} = \frac{-375 + 1625}{2} = \frac{1250}{2} = 625$
Второй корень: $t_{1,2} = \frac{-375 - 1625}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень: $t_1 = 625$ минут.

4. Формулировка ответа

Время работы первой трубы составляет 625 минут. Переведем это значение в часы и минуты для наглядности:
$625 \text{ мин} = 600 \text{ мин} + 25 \text{ мин} = 10 \text{ часов } 25 \text{ минут}$.
Ответ: Первая труба была открыта 625 минут, или 10 часов 25 минут.