Номер 500, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

500. Из городов A и B, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста, один из которых прибыл в город B через 40 мин, а другой — в город A через 1,5 ч после встречи. Найдите скорость движения каждого велосипедиста.

Пусть $v_1$ — скорость первого велосипедиста, а $v_2$ — скорость второго. Расстояние между городами A и B составляет $S = 40$ км. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу. Пусть первый велосипедист выехал из A, а второй — из B.

Обозначим время, через которое они встретились, как $t_{вст}$. Пусть место встречи — точка C. Тогда расстояние, которое проехал первый велосипедист до встречи, равно $S_{AC} = v_1 \cdot t_{вст}$. Расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи, равно $S_{BC} = v_2 \cdot t_{вст}$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию: $S_{AC} + S_{BC} = 40$ км.

По условию, после встречи один из велосипедистов прибыл в город B через 40 минут, а другой — в город A через 1,5 часа. Переведем время в часы: $t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч. $t_2 = 1.5 \text{ ч} = \frac{3}{2}$ ч.

Пусть первый велосипедист (выехавший из A) прибыл в B через $t_1 = \frac{2}{3}$ ч после встречи. Расстояние, которое он проехал после встречи, — это $S_{BC}$. Следовательно, $S_{BC} = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{2}{3}$.

Тогда второй велосипедист (выехавший из B) прибыл в A через $t_2 = \frac{3}{2}$ ч после встречи. Расстояние, которое он проехал после встречи, — это $S_{AC}$. Следовательно, $S_{AC} = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$:
$v_1 \cdot t_{вст} = v_2 \cdot \frac{3}{2}$ (1)
$v_2 \cdot t_{вст} = v_1 \cdot \frac{2}{3}$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2): $\frac{v_1 \cdot t_{вст}}{v_2 \cdot t_{вст}} = \frac{v_2 \cdot \frac{3}{2}}{v_1 \cdot \frac{2}{3}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{3/2}{2/3}$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{9}{4}$

Умножим обе части на $\frac{v_1}{v_2}$:
$(\frac{v_1}{v_2})^2 = \frac{9}{4}$
Так как скорости — величины положительные, извлекаем квадратный корень:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
Отсюда $v_1 = \frac{3}{2} v_2$.

Теперь используем общее расстояние $S = S_{AC} + S_{BC} = 40$ км. Подставим в него выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$, выведенные из движения после встречи:
$v_2 \cdot \frac{3}{2} + v_1 \cdot \frac{2}{3} = 40$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $v_1 = \frac{3}{2} v_2$:
$v_2 \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2} v_2) \cdot \frac{2}{3} = 40$
$\frac{3}{2} v_2 + v_2 = 40$
$\frac{5}{2} v_2 = 40$
$v_2 = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$ км/ч.

Теперь находим скорость первого велосипедиста:
$v_1 = \frac{3}{2} v_2 = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24$ км/ч.

Ответ: Скорость одного велосипедиста равна 24 км/ч, а скорость другого — 16 км/ч.