Номер 506, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

506. В два одинаковых бассейна одновременно начали наливать воду. В первый бассейн поступает за час на $30 \text{ м}^3$ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в обоих бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объём каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а ещё через 3 ч 20 мин – второй. Сколько воды поступало за 1 ч в каждый бассейн?

Обозначим переменные: $V$ – объём каждого бассейна в м³, $v_1$ – скорость наполнения первого бассейна в м³/ч, $v_2$ – скорость наполнения второго бассейна в м³/ч, и $t_0$ – время в часах до контрольного момента.

Из условия задачи следует, что скорость наполнения первого бассейна на 30 м³/ч больше, чем второго: $v_1 = v_2 + 30$.

В контрольный момент времени $t_0$ суммарный объём воды в обоих бассейнах был равен объёму одного бассейна: $v_1 t_0 + v_2 t_0 = V$, что можно записать как $(v_1 + v_2) t_0 = V$.

После этого момента первый бассейн наполнился за 2 ч 40 мин. Переведем это время в часы: $t_1 = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2\frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$. Общий объём бассейна $V$ можно выразить как сумму объёма в момент $t_0$ и объёма, долитого за время $t_1$: $V = v_1 t_0 + v_1 \cdot \frac{8}{3} = v_1(t_0 + \frac{8}{3})$.

Второй бассейн наполнился на 3 ч 20 мин позже первого. Следовательно, время, которое потребовалось для наполнения второго бассейна после момента $t_0$, составляет: $t_2 = (2 \text{ ч } 40 \text{ мин}) + (3 \text{ ч } 20 \text{ мин}) = \frac{8}{3} \text{ ч} + (3 + \frac{20}{60})\text{ ч} = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \text{ ч}$. Для второго бассейна получаем аналогичное уравнение: $V = v_2 t_0 + v_2 \cdot 6 = v_2(t_0 + 6)$.

Теперь у нас есть система уравнений. Приравняем выражения для объёма $V$:

$v_1(t_0 + \frac{8}{3}) = v_2(t_0 + 6)$

Подставим $v_1 = v_2 + 30$ в это уравнение:

$(v_2 + 30)(t_0 + \frac{8}{3}) = v_2(t_0 + 6)$

$v_2 t_0 + \frac{8}{3}v_2 + 30t_0 + 30 \cdot \frac{8}{3} = v_2 t_0 + 6v_2$

$\frac{8}{3}v_2 + 30t_0 + 80 = 6v_2$

Выразим $30t_0$:

$30t_0 = 6v_2 - \frac{8}{3}v_2 - 80 = \frac{18v_2 - 8v_2}{3} - 80 = \frac{10}{3}v_2 - 80$.

Из уравнений $(v_1 + v_2) t_0 = V$ и $V = v_2(t_0 + 6)$ следует, что $(v_1 + v_2) t_0 = v_2(t_0 + 6)$.

Снова подставим $v_1 = v_2 + 30$:

$(v_2 + 30 + v_2)t_0 = v_2 t_0 + 6v_2$

$(2v_2 + 30)t_0 = v_2 t_0 + 6v_2$

$2v_2 t_0 + 30t_0 = v_2 t_0 + 6v_2$

$v_2 t_0 + 30t_0 = 6v_2$

Отсюда выразим $t_0$: $t_0(v_2 + 30) = 6v_2 \implies t_0 = \frac{6v_2}{v_2 + 30}$.

Теперь подставим полученное выражение для $t_0$ в ранее найденное уравнение для $30t_0$:

$30 \left( \frac{6v_2}{v_2 + 30} \right) = \frac{10}{3}v_2 - 80$

$\frac{180v_2}{v_2 + 30} = \frac{10v_2 - 240}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot 180v_2 = (v_2 + 30)(10v_2 - 240)$

$540v_2 = 10v_2^2 - 240v_2 + 300v_2 - 7200$

$540v_2 = 10v_2^2 + 60v_2 - 7200$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:

$10v_2^2 - 480v_2 - 7200 = 0$

Разделим обе части уравнения на 10:

$v_2^2 - 48v_2 - 720 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720) = 2304 + 2880 = 5184$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5184} = 72$.

Находим корни уравнения для $v_2$:

$v_{2,1} = \frac{48 + 72}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_{2,2} = \frac{48 - 72}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Скорость поступления воды не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость наполнения второго бассейна $v_2 = 60$ м³/ч.

Теперь найдем скорость наполнения первого бассейна:

$v_1 = v_2 + 30 = 60 + 30 = 90$ м³/ч.

Ответ: В первый бассейн поступало 90 м³/ч воды, а во второй — 60 м³/ч.