Номер 512, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

512. На химическом заводе есть цеха трёх типов. В каждом цехе первого, второго и третьего типов работает соответственно 350, 80 и 60 рабочих. Всего в этих цехах завода работает 980 человек. Найдите количество цехов каждого типа.

Пусть $x$ — количество цехов первого типа, $y$ — количество цехов второго типа, а $z$ — количество цехов третьего типа. Поскольку речь идет о количестве цехов, $x$, $y$ и $z$ должны быть целыми положительными числами.

Согласно условию задачи, в каждом цехе первого типа работает 350 человек, второго — 80, третьего — 60. Общее число рабочих составляет 980 человек. Мы можем составить следующее уравнение:

$350x + 80y + 60z = 980$

Для упрощения разделим все члены уравнения на их общий делитель, равный 10:

$35x + 8y + 6z = 98$

Так как $x$, $y$ и $z$ — целые положительные числа (предполагаем, что есть хотя бы по одному цеху каждого типа, то есть $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$), мы можем проанализировать возможные значения для $x$.

Рассмотрим слагаемое $35x$. Оно не может быть больше 98. Если $x=1$, то $35 \cdot 1 = 35$. Если $x=2$, то $35 \cdot 2 = 70$. Если $x=3$, то $35 \cdot 3 = 105$, что больше 98. Следовательно, $x$ может быть равен только 1 или 2.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x = 1$. Подставим это значение в упрощенное уравнение: $35(1) + 8y + 6z = 98$, что приводит к $8y + 6z = 63$. Левая часть уравнения, $8y + 6z = 2(4y + 3z)$, всегда является четным числом для любых целых $y$ и $z$. Правая часть, 63, является нечетным числом. Равенство четного и нечетного чисел невозможно. Следовательно, при $x=1$ уравнение не имеет решений в целых числах.

Случай 2: $x = 2$. Подставим это значение в упрощенное уравнение: $35(2) + 8y + 6z = 98$, что приводит к $70 + 8y + 6z = 98$, или $8y + 6z = 28$. Разделим обе части на 2: $4y + 3z = 14$.

Теперь найдем положительные целочисленные решения для $y$ и $z$. Выразим $z$ через $y$: $z = \frac{14 - 4y}{3}$. Поскольку $y \ge 1$ и $z \ge 1$, то $14 - 4y > 0$, что означает $4y < 14$, или $y < 3.5$. Также выражение $14 - 4y$ должно быть кратно 3.

Переберем возможные целые значения для $y$ от 1 до 3.

При $y = 1$: $z = \frac{14 - 4(1)}{3} = \frac{10}{3}$. Не является целым числом.

При $y = 2$: $z = \frac{14 - 4(2)}{3} = \frac{14 - 8}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Является целым числом.

При $y = 3$: $z = \frac{14 - 4(3)}{3} = \frac{14 - 12}{3} = \frac{2}{3}$. Не является целым числом.

Единственное целочисленное решение, удовлетворяющее условиям, это $y=2$ и $z=2$.

Таким образом, мы нашли единственное решение в целых положительных числах: $x=2$, $y=2$, $z=2$.

Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение: $350(2) + 80(2) + 60(2) = 700 + 160 + 120 = 980$. Равенство $980 = 980$ выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Таким образом, количество цехов первого типа — 2, количество цехов второго типа — 2, количество цехов третьего типа — 2.

Ответ: 2 цеха первого типа, 2 цеха второго типа, 2 цеха третьего типа.