Номер 513, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

513. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значения переменной (переменных):

1) $(\frac{1}{a} + \frac{1}{a-8})(a - 4 - \frac{16}{a-4});$

2) $\frac{a}{b-a} - \frac{ac}{b-c} \cdot \left( \frac{b+c}{bc-ac} - \frac{a+b}{ab-a^2} + \frac{b}{ac} \right).$

1)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной при всех допустимых значениях, необходимо его упростить. Если в результате упрощения получится число (константа), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} \right) \left( a - 4 - \frac{16}{a-4} \right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$ определяется из условий, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $ a \neq 0 $, $ a - 8 \neq 0 \implies a \neq 8 $ и $ a - 4 \neq 0 \implies a \neq 4 $.

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Действие в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-8)$: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} = \frac{1 \cdot (a-8)}{a(a-8)} + \frac{1 \cdot a}{a(a-8)} = \frac{a-8+a}{a(a-8)} = \frac{2a-8}{a(a-8)} = \frac{2(a-4)}{a(a-8)} $.

Действие во второй скобке. Приведем выражение к общему знаменателю $a-4$: $ a - 4 - \frac{16}{a-4} = \frac{(a-4)(a-4)}{a-4} - \frac{16}{a-4} = \frac{(a-4)^2 - 16}{a-4} $.

Числитель полученной дроби можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $ (a-4)^2 - 16 = (a-4)^2 - 4^2 = ((a-4)-4)((a-4)+4) = (a-8)a $.

Таким образом, вторая скобка равна: $ \frac{a(a-8)}{a-4} $.

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой из скобок: $ \frac{2(a-4)}{a(a-8)} \cdot \frac{a(a-8)}{a-4} $.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$, $a-8$, $a-4$): $ \frac{2\cancel{(a-4)}}{\cancel{a}\cancel{(a-8)}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{(a-8)}}{\cancel{a-4}} = 2 $.

В результате упрощения мы получили число 2. Это означает, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения постоянно и не зависит от переменной.

Ответ: 2.

2)

Рассмотрим выражение: $ \frac{a}{b-a} - \frac{ac}{b-c} \cdot \left( \frac{b+c}{bc-ac} - \frac{a+b}{ab-a^2} + \frac{b}{ac} \right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей: $ b-a \neq 0 \implies a \neq b $; $ b-c \neq 0 \implies b \neq c $; $ bc-ac = c(b-a) \neq 0 \implies c \neq 0, a \neq b $; $ ab-a^2 = a(b-a) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq b $; $ ac \neq 0 \implies a \neq 0, c \neq 0 $. Итого ОДЗ: $ a \neq 0 $, $ c \neq 0 $, $ a \neq b $, $ b \neq c $.

Согласно правилам порядка действий, сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и в последнюю очередь вычитание.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю. $ \frac{b+c}{c(b-a)} - \frac{a+b}{a(b-a)} + \frac{b}{ac} $. Общий знаменатель: $ ac(b-a) $. $ \frac{a(b+c)}{ac(b-a)} - \frac{c(a+b)}{ac(b-a)} + \frac{b(b-a)}{ac(b-a)} = \frac{a(b+c) - c(a+b) + b(b-a)}{ac(b-a)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $ \frac{ab+ac - ac-bc + b^2-ab}{ac(b-a)} = \frac{(ab-ab) + (ac-ac) - bc + b^2}{ac(b-a)} = \frac{b^2-bc}{ac(b-a)} $.

Вынесем общий множитель $b$ в числителе: $ \frac{b(b-c)}{ac(b-a)} $.

2. Выполним умножение: $ \frac{ac}{b-c} \cdot \frac{b(b-c)}{ac(b-a)} $. Сократим общие множители $ac$ и $(b-c)$: $ \frac{\cancel{ac}}{\cancel{b-c}} \cdot \frac{b(\cancel{b-c})}{\cancel{ac}(b-a)} = \frac{b}{b-a} $.

3. Выполним вычитание: $ \frac{a}{b-a} - \frac{b}{b-a} = \frac{a-b}{b-a} $.

Вынесем в числителе -1 за скобки: $ \frac{-(b-a)}{b-a} = -1 $.

В результате упрощения мы получили число -1. Это означает, что при всех допустимых значениях переменных $a, b, c$ значение выражения постоянно.

Ответ: -1.