Номер 510, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

510. Бригады рабочих получили со склада одежду для работы: по 2 комплекта на каждого человека. Каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов одежды было на складе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество бригад рабочих, а $K$ — общее количество комплектов одежды на складе.

Согласно условию, «каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад». Это означает, что одна бригада получила $(x+20)$ комплектов. Общее количество комплектов $K$ на складе можно выразить как произведение количества бригад на количество комплектов, выданных каждой бригаде:

$K = x(x + 20)$

Другое условие гласит: «Если бы бригад было на 4 больше и каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы». Составим неравенство на основе этого условия.

Новое количество бригад было бы $x+4$. Если бы каждой из них выдали по 12 комплектов, то общее требуемое количество комплектов составило бы $12(x+4)$. Так как одежды бы не хватило, это количество больше, чем было на складе ($K$):

$12(x + 4) > K$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $K$, которое мы нашли ранее:

$12(x + 4) > x(x + 20)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$12x + 48 > x^2 + 20x$

$0 > x^2 + 20x - 12x - 48$

$x^2 + 8x - 48 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 48 = 0$. Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$. Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 - 16}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 + 16}{2} = 4$

Парабола $y = x^2 + 8x - 48$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 8x - 48 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями: $-12 < x < 4$.

По смыслу задачи, количество бригад $x$ должно быть целым положительным числом. Из интервала $(-12; 4)$ этому условию удовлетворяют $x=1, x=2, x=3$.

В задаче также есть важное уточнение: «бригады рабочих получили со склада одежду для работы: по 2 комплекта на каждого человека». Это значит, что количество комплектов, выданных одной бригаде, должно быть четным, так как оно равно удвоенному числу рабочих в этой бригаде. Количество комплектов на одну бригаду составляет $x+20$. Чтобы сумма $x+20$ была четной, число $x$ также должно быть четным.

Из возможных значений $x \in \{1, 2, 3\}$ единственным четным является $x=2$.

Таким образом, количество бригад было равно 2. Теперь мы можем найти общее количество комплектов одежды на складе, подставив $x=2$ в нашу первую формулу:

$K = 2(2 + 20) = 2 \cdot 22 = 44$.

Ответ: на складе было 44 комплекта одежды.