Номер 509, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

509. Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику – 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик. Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика. Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика. Сколько деталей в час делал ученик?

Пусть производительность ученика составляет $x$ деталей в час. Поскольку производительность — это положительная величина, то $x > 0$.

Время, которое ученик затратил на изготовление 35 деталей, равно $T_{уч} = \frac{35}{x}$ часов.

Токарю было поручено изготовить 90 деталей. Он работал в два этапа.

1. Первые 30 деталей он делал с производительностью в два раза большей, чем ученик, то есть $2x$ деталей в час. Время, затраченное на эту часть работы: $t_1 = \frac{30}{2x} = \frac{15}{x}$ часов.

2. Оставшиеся $90 - 30 = 60$ деталей он изготавливал, увеличив производительность еще на 2 детали в час, то есть она стала $2x + 2$ деталей в час. Время, затраченное на вторую часть работы: $t_2 = \frac{60}{2x+2} = \frac{30}{x+1}$ часов.

Общее время работы токаря составило $T_{ток} = t_1 + t_2 = \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1}$ часов.

По условию, токарь закончил свою работу не менее чем на 1 час позже ученика. Это можно записать в виде неравенства:

$T_{ток} \ge T_{уч} + 1$

$\frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} \ge \frac{35}{x} + 1$

Решим это неравенство:

$\frac{30}{x+1} - 1 \ge \frac{35}{x} - \frac{15}{x}$

$\frac{30 - (x+1)}{x+1} \ge \frac{20}{x}$

$\frac{29-x}{x+1} - \frac{20}{x} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x(29-x) - 20(x+1)}{x(x+1)} \ge 0$

$\frac{29x - x^2 - 20x - 20}{x(x+1)} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 9x - 20}{x(x+1)} \ge 0$

Так как $x > 0$, знаменатель $x(x+1)$ всегда положителен. Значит, знак дроби зависит только от знака числителя: $-x^2 + 9x - 20 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 9x + 20 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ являются $x_1=4$ и $x_2=5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, $4 \le x \le 5$.

Рассмотрим гипотетическую ситуацию. Если бы токарь все 90 деталей изготавливал с производительностью $2x + 2$ деталей в час, то его время работы составило бы $T'_{ток} = \frac{90}{2x+2} = \frac{45}{x+1}$ часов.

По условию, в этом случае он закончил бы работу не ранее чем через 30 минут (то есть 0.5 часа) после ученика. Составим второе неравенство:

$T'_{ток} \ge T_{уч} + 0.5$

$\frac{45}{x+1} \ge \frac{35}{x} + \frac{1}{2}$

Решим это неравенство:

$\frac{45}{x+1} - \frac{35}{x} - \frac{1}{2} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $2x(x+1)$:

$\frac{45 \cdot 2x - 35 \cdot 2(x+1) - x(x+1)}{2x(x+1)} \ge 0$

$\frac{90x - 70x - 70 - x^2 - x}{2x(x+1)} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 19x - 70}{2x(x+1)} \ge 0$

Знаменатель $2x(x+1)$ положителен при $x > 0$. Следовательно, $-x^2 + 19x - 70 \ge 0$. Умножим на -1: $x^2 - 19x + 70 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 19x + 70 = 0$ являются $x_1=5$ и $x_2=14$. Неравенство выполняется между корнями: $5 \le x \le 14$.

Производительность ученика $x$ должна удовлетворять обоим найденным условиям одновременно. Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 4 \le x \le 5 \\ 5 \le x \le 14 \end{cases} $$

Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=5$.

Ответ: 5 деталей в час.