Номер 507, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

507. В 7 ч утра от первого причала отплыли две лодки. Сначала они плыли 8 км по озеру, а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка приплыла в место назначения не позже 9 ч 50 мин, а вторая – не раньше 10 ч 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет $75 \%$ скорости первой лодки в стоячей воде?

Для решения этой задачи введем переменную для скорости первой лодки, выразим через нее все остальные скорости и время в пути, а затем составим и решим систему неравенств, основанную на времени прибытия лодок.

1. Определение переменных и скоростей

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость первой лодки (скорость в стоячей воде).
Согласно условию, скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75% от скорости первой, то есть ее собственная скорость равна $0.75x$ км/ч.
Скорость течения реки равна $v_{\text{теч}} = 2$ км/ч.
Лодки плывут 8 км по озеру (где течение отсутствует) и 5 км по течению реки.
Скорость первой лодки по озеру: $v_{1,\text{озеро}} = x$ км/ч.
Скорость первой лодки по реке (по течению): $v_{1,\text{река}} = x + v_{\text{теч}} = x + 2$ км/ч.
Скорость второй лодки по озеру: $v_{2,\text{озеро}} = 0.75x$ км/ч.
Скорость второй лодки по реке (по течению): $v_{2,\text{река}} = 0.75x + v_{\text{теч}} = 0.75x + 2$ км/ч.
Из физического смысла задачи следует, что собственная скорость лодки должна быть положительной, то есть $x > 0$.

2. Расчет времени в пути для каждой лодки

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Общее время движения первой лодки ($T_1$) складывается из времени движения по озеру и по реке:
$T_1 = t_{1,\text{озеро}} + t_{1,\text{река}} = \frac{8}{x} + \frac{5}{x+2}$ часов.
Аналогично для второй лодки ($T_2$):
$T_2 = t_{2,\text{озеро}} + t_{2,\text{река}} = \frac{8}{0.75x} + \frac{5}{0.75x+2}$ часов.

3. Составление системы неравенств

Лодки отплыли в 7 ч 00 мин.
Первая лодка прибыла не позже 9 ч 50 мин. Это означает, что ее время в пути $T_1$ не превышает 9 ч 50 мин - 7 ч 00 мин = 2 ч 50 мин.
Переведем 2 ч 50 мин в часы: $2 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 2 + \frac{50}{60} = 2 + \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$ часа.
Получаем первое неравенство: $T_1 \le \frac{17}{6} \implies \frac{8}{x} + \frac{5}{x+2} \le \frac{17}{6}$.
Вторая лодка прибыла не раньше 10 ч 40 мин. Это означает, что ее время в пути $T_2$ не меньше, чем 10 ч 40 мин - 7 ч 00 мин = 3 ч 40 мин.
Переведем 3 ч 40 мин в часы: $3 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 3 + \frac{40}{60} = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$ часа.
Получаем второе неравенство: $T_2 \ge \frac{11}{3} \implies \frac{8}{0.75x} + \frac{5}{0.75x+2} \ge \frac{11}{3}$.

4. Решение неравенства для первой лодки

Решим неравенство $\frac{8}{x} + \frac{5}{x+2} \le \frac{17}{6}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{8(x+2) + 5x}{x(x+2)} \le \frac{17}{6} \implies \frac{13x + 16}{x^2 + 2x} \le \frac{17}{6}$.
Так как $x>0$, знаменатель $x(x+2)$ также положителен. Умножим обе части на $6x(x+2)$ без изменения знака неравенства:
$6(13x + 16) \le 17(x^2 + 2x)$
$78x + 96 \le 17x^2 + 34x$
$17x^2 - 44x - 96 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $17x^2 - 44x - 96 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-96) = 1936 + 6528 = 8464 = 92^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 \pm 92}{2 \cdot 17} = \frac{44 \pm 92}{34}$.
$x_1 = \frac{44+92}{34} = \frac{136}{34} = 4$.
$x_2 = \frac{44-92}{34} = -\frac{48}{34}$.
График функции $y=17x^2-44x-96$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется при $x \le x_2$ или $x \ge x_1$. Учитывая условие $x>0$, получаем решение: $x \ge 4$.

5. Решение неравенства для второй лодки

Решим неравенство $\frac{8}{0.75x} + \frac{5}{0.75x+2} \ge \frac{11}{3}$.
Для упрощения введем замену $y = 0.75x$. Так как $x>0$, то и $y>0$. Неравенство примет вид:
$\frac{8}{y} + \frac{5}{y+2} \ge \frac{11}{3}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{8(y+2) + 5y}{y(y+2)} \ge \frac{11}{3} \implies \frac{13y + 16}{y^2 + 2y} \ge \frac{11}{3}$.
Так как $y>0$, знаменатель $y(y+2)$ положителен. Умножим обе части на $3y(y+2)$:
$3(13y + 16) \ge 11(y^2 + 2y)$
$39y + 48 \ge 11y^2 + 22y$
$11y^2 - 17y - 48 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $11y^2 - 17y - 48 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-48) = 289 + 2112 = 2401 = 49^2$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 49}{2 \cdot 11} = \frac{17 \pm 49}{22}$.
$y_1 = \frac{17+49}{22} = \frac{66}{22} = 3$.
$y_2 = \frac{17-49}{22} = -\frac{32}{22}$.
График функции $z=11y^2-17y-48$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $y_2 \le y \le y_1$. Учитывая условие $y>0$, получаем $0 < y \le 3$.
Сделаем обратную замену $y = 0.75x = \frac{3}{4}x$:
$\frac{3}{4}x \le 3 \implies x \le \frac{3 \cdot 4}{3} \implies x \le 4$.

6. Объединение результатов и нахождение ответа

Мы получили систему из двух условий для скорости первой лодки $x$:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases}$
Единственное значение $x$, удовлетворяющее этой системе, — это $x=4$.
Таким образом, собственная скорость первой лодки равна 4 км/ч.
Теперь найдем собственную скорость второй лодки:
$v_2 = 0.75x = 0.75 \cdot 4 = 3$ км/ч.
Ответ: скорость первой лодки в стоячей воде равна 4 км/ч, скорость второй лодки в стоячей воде — 3 км/ч.