Номер 501, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

501. Из двух пунктов, расстояние между которыми 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый автомобиль прибыл во второй пункт через 1 ч 36 мин после встречи, а второй автомобиль прибыл в первый пункт через 2,5 ч после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей соответственно (в км/ч), а $S = 180$ км — расстояние между пунктами.

Пусть автомобили встретились через $t$ часов после выезда в некоторой точке C. До встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 t$, а второй — $S_2 = v_2 t$. Вместе они проехали всё расстояние, поэтому:

$S_1 + S_2 = 180$

$v_1 t + v_2 t = 180$

После встречи первому автомобилю осталось проехать расстояние $S_2$, которое до встречи проехал второй автомобиль, а второму автомобилю осталось проехать расстояние $S_1$, которое до встречи проехал первый.

По условию, первый автомобиль прибыл в пункт назначения через 1 ч 36 мин после встречи. Переведем это время в часы:

$t_1 = 1 \text{ ч } 36 \text{ мин} = 1 + \frac{36}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{3}{5} \text{ ч} = 1.6 \text{ ч}$

За это время первый автомобиль со скоростью $v_1$ проехал расстояние $S_2$. Таким образом, мы можем записать:

$S_2 = v_1 \cdot t_1 = 1.6 v_1$

Второй автомобиль прибыл в пункт назначения через 2,5 ч после встречи. Обозначим это время как $t_2 = 2.5$ ч. За это время второй автомобиль со скоростью $v_2$ проехал расстояние $S_1$. Таким образом:

$S_1 = v_2 \cdot t_2 = 2.5 v_2$

Теперь мы можем приравнять выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$ до и после встречи:

$v_1 t = S_1 = 2.5 v_2$

$v_2 t = S_2 = 1.6 v_1$

Получили систему из двух уравнений. Выразим $t$ из первого уравнения: $t = \frac{2.5 v_2}{v_1}$.

Подставим это выражение для $t$ во второе уравнение:

$v_2 \left( \frac{2.5 v_2}{v_1} \right) = 1.6 v_1$

$2.5 v_2^2 = 1.6 v_1^2$

Найдем отношение скоростей:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{2.5}{1.6} = \frac{25}{16}$

Так как скорости — величины положительные, извлечем квадратный корень:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$

Отсюда выразим $v_1$ через $v_2$: $v_1 = \frac{5}{4} v_2$.

Общее расстояние $S = S_1 + S_2 = 180$ км. Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$, которые мы получили из данных о движении после встречи:

$2.5 v_2 + 1.6 v_1 = 180$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $v_1 = \frac{5}{4} v_2$:

$2.5 v_2 + 1.6 \left( \frac{5}{4} v_2 \right) = 180$

$2.5 v_2 + \frac{1.6 \cdot 5}{4} v_2 = 180$

$2.5 v_2 + \frac{8}{4} v_2 = 180$

$2.5 v_2 + 2 v_2 = 180$

$4.5 v_2 = 180$

$v_2 = \frac{180}{4.5} = \frac{1800}{45} = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$v_1 = \frac{5}{4} v_2 = \frac{5}{4} \cdot 40 = 5 \cdot 10 = 50$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 50 км/ч, скорость второго автомобиля — 40 км/ч.