Номер 498, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

498. Теплоход проходит путь от пункта А до пункта В за 3 ч, а возвращается назад за 4 ч. За какое время проплывёт путь от пункта А до пункта В плот?

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$. Пусть $v_т$ — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде), а $v_р$ — скорость течения реки.

Поскольку на путь от A до B теплоход тратит меньше времени (3 часа), чем на обратный путь (4 часа), то он плывет по течению из A в B и против течения из B в A.

Скорость теплохода по течению (из A в B) равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_т + v_р$.
Скорость теплохода против течения (из B в A) равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_т - v_р$.

Используя формулу пути $S = v \cdot t$, можем составить систему из двух уравнений:

1. Для движения по течению: $S = (v_т + v_р) \cdot 3$
2. Для движения против течения: $S = (v_т - v_р) \cdot 4$

Из этих уравнений выразим скорости:

$v_т + v_р = \frac{S}{3}$
$v_т - v_р = \frac{S}{4}$

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость $v_{плот} = v_р$. Нам нужно найти время $t_{плот}$, за которое плот проплывет расстояние $S$. Это время равно $t_{плот} = \frac{S}{v_р}$. Чтобы найти это время, нам нужно выразить $v_р$ через $S$.

Для этого вычтем из первого уравнения системы второе:

$(v_т + v_р) - (v_т - v_р) = \frac{S}{3} - \frac{S}{4}$

$v_т + v_р - v_т + v_р = \frac{4S - 3S}{12}$

$2v_р = \frac{S}{12}$

$v_р = \frac{S}{24}$

Теперь, зная скорость течения, мы можем найти время, за которое плот проплывет путь от A до B:

$t_{плот} = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ часа.

Ответ: 24 часа.