Номер 491, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Математическое моделирование. Глава 3. Элементы прикладной математики - номер 491, страница 144.

Условия.

491. Турист проплыл на лодке по реке от пристани А до пристани В и вернулся обратно за 6 ч. Найдите скорость течения реки, если 2 км по течению реки турист проплывает за то же время, что и 1 км против течения, а расстояние между пристанями А и В составляет 16 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) в км/ч, а $v_т$ — это скорость течения реки в км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения и равна $(v_л + v_т)$ км/ч.
Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения и равна $(v_л - v_т)$ км/ч.

Из условия известно, что 2 км по течению реки турист проплывает за то же время, что и 1 км против течения. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Составим уравнение на основе этого условия:
$t_{по\_течению} = t_{против\_течения}$
$\frac{2}{v_л + v_т} = \frac{1}{v_л - v_т}$

Преобразуем это уравнение, чтобы найти соотношение между скоростью лодки и скоростью течения. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2(v_л - v_т) = 1(v_л + v_т)$
$2v_л - 2v_т = v_л + v_т$
$2v_л - v_л = v_т + 2v_т$
$v_л = 3v_т$
Это означает, что собственная скорость лодки в три раза больше скорости течения реки.

Общее расстояние между пристанями А и В составляет 16 км. Турист проплыл это расстояние туда и обратно, затратив на весь путь 6 часов. Составим второе уравнение, суммируя время движения по течению и против течения:
$t_{туда} + t_{обратно} = T_{общ}$
$\frac{16}{v_л + v_т} + \frac{16}{v_л - v_т} = 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение $v_л = 3v_т$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $v_т$:
$\frac{16}{3v_т + v_т} + \frac{16}{3v_т - v_т} = 6$
$\frac{16}{4v_т} + \frac{16}{2v_т} = 6$

Упростим и решим полученное уравнение:
$\frac{4}{v_т} + \frac{8}{v_т} = 6$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{4 + 8}{v_т} = 6$
$\frac{12}{v_т} = 6$
Теперь найдем $v_т$:
$12 = 6v_т$
$v_т = \frac{12}{6}$
$v_т = 2$

Таким образом, мы нашли, что скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.