Номер 486, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

486. Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению – на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть $v_к$ км/ч — собственная скорость катера, а $v_т$ км/ч — скорость течения реки.Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_к + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_к - v_т)$ км/ч.

Согласно первому условию, катер проходит 48 км против течения и 30 км по течению за 3 часа. Составим первое уравнение, используя формулу времени $t = S/v$:$$ \frac{48}{v_к - v_т} + \frac{30}{v_к + v_т} = 3 $$

Согласно второму условию, 15 км по течению катер проходит на 1 час быстрее, чем 36 км против течения. Это означает, что разница во времени, затраченном на эти участки пути, равна 1 часу. Составим второе уравнение:$$ \frac{36}{v_к - v_т} - \frac{15}{v_к + v_т} = 1 $$

Получили систему двух уравнений с двумя переменными. Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $x = v_к + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_к - v_т$ (скорость против течения), где $x > 0$ и $y > 0$.Система примет вид:$$ \begin{cases} \frac{48}{y} + \frac{30}{x} = 3 \\ \frac{36}{y} - \frac{15}{x} = 1 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение системы на 2, чтобы уравнять коэффициенты при члене $\frac{15}{x}$:$$ \begin{cases} \frac{48}{y} + \frac{30}{x} = 3 \\ \frac{72}{y} - \frac{30}{x} = 2 \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$$ \left(\frac{48}{y} + \frac{30}{x}\right) + \left(\frac{72}{y} - \frac{30}{x}\right) = 3 + 2 $$$$ \frac{48 + 72}{y} = 5 $$$$ \frac{120}{y} = 5 $$$$ y = \frac{120}{5} = 24 $$

Подставим найденное значение $y = 24$ в любое из уравнений первоначальной упрощенной системы, например, во второе:$$ \frac{36}{24} - \frac{15}{x} = 1 $$$$ 1.5 - \frac{15}{x} = 1 $$$$ \frac{15}{x} = 1.5 - 1 $$$$ \frac{15}{x} = 0.5 $$$$ x = \frac{15}{0.5} = 30 $$

Итак, мы нашли скорость по течению $x = 30$ км/ч и скорость против течения $y = 24$ км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным, чтобы найти собственную скорость катера и скорость течения:$$ \begin{cases} v_к + v_т = 30 \\ v_к - v_т = 24 \end{cases} $$Сложим эти два уравнения:$$ (v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 30 + 24 $$$$ 2v_к = 54 $$$$ v_к = 27 $$Подставим значение $v_к$ в первое уравнение системы:$$ 27 + v_т = 30 $$$$ v_т = 3 $$Собственная скорость катера равна 27 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 27 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.