Номер 483, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

483. Расстояние между сёлами $M$ и $N$ равно $36$ км. Из села $N$ выехал велосипедист, а через $0,5$ ч навстречу ему из села $M$ выехал второй велосипедист, скорость которого на $6$ км/ч больше скорости первого. Найдите скорость каждого велосипедиста, если они встретились на середине пути между сёлами $M$ и $N$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость первого велосипедиста, который выехал из села N.

По условию, скорость второго велосипедиста, выехавшего из села M, на 6 км/ч больше скорости первого. Следовательно, его скорость равна $(x + 6)$ км/ч.

Расстояние между сёлами M и N составляет 36 км. Велосипедисты встретились на середине пути, значит, каждый из них проехал до встречи половину всего расстояния:
$S = \frac{36}{2} = 18$ км.

Время, которое затратил на свой путь первый велосипедист, можно выразить через формулу $t = \frac{S}{v}$:
$t_1 = \frac{18}{x}$ ч.

Время, которое затратил на свой путь второй велосипедист:
$t_2 = \frac{18}{x+6}$ ч.

Известно, что второй велосипедист выехал на 0,5 часа позже первого. Это означает, что первый велосипедист был в пути на 0,5 часа дольше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:
$t_1 - t_2 = 0.5$
$\frac{18}{x} - \frac{18}{x+6} = 0.5$.

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+6)$:
$\frac{18(x+6) - 18x}{x(x+6)} = 0.5$
$\frac{18x + 108 - 18x}{x^2 + 6x} = 0.5$
$\frac{108}{x^2 + 6x} = 0.5$.

Воспользуемся свойством пропорции:
$0.5(x^2 + 6x) = 108$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 + 6x = 216$.

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x - 216 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = 30$.

Найдем два корня уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$x + 6 = 12 + 6 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.