Номер 16, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

16. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 - 4x + a \geq 0$ имеет единственное решение?

А) $a = 2$ или $a = -2$

Б) $a = 2$

В) $a = -2$

Г) таких значений не существует

Рассмотрим данное неравенство $ax^2 - 4x + a \ge 0$. Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых это неравенство имеет ровно одно решение.

Проанализируем два основных случая для коэффициента $a$.

Случай 1: $a = 0$
Если $a = 0$, неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 - 4x + 0 \ge 0$ $-4x \ge 0$ Чтобы решить это неравенство, разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный: $x \le 0$ Решением является промежуток $(-\infty, 0]$, который содержит бесконечное множество чисел. Следовательно, $a=0$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $a \ne 0$
При $a \ne 0$ выражение $y = ax^2 - 4x + a$ является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Неравенство $y \ge 0$ имеет единственное решение только в том случае, когда парабола касается оси абсцисс ($Ox$) в одной точке (в своей вершине) и все остальные ее точки находятся ниже оси $Ox$.

Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это происходит, когда старший коэффициент $a$ отрицателен, то есть $a < 0$. Если бы ветви были направлены вверх ($a > 0$), то в случае касания оси $Ox$ решением неравенства $y \ge 0$ была бы вся числовая прямая, что является бесконечным множеством решений.
2. Парабола должна иметь ровно одну общую точку с осью $Ox$. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ должно иметь единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 - 4x + a$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 16 - 4a^2$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение имеет один корень: $16 - 4a^2 = 0$ $4a^2 = 16$ $a^2 = 4$ Это уравнение имеет два корня: $a = 2$ и $a = -2$.

Теперь из этих двух значений нужно выбрать то, которое удовлетворяет первому условию: $a < 0$. Этому условию удовлетворяет только $a = -2$.

Проверим найденное значение. При $a = -2$ исходное неравенство принимает вид: $-2x^2 - 4x - 2 \ge 0$ Разделим обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется на противоположный): $x^2 + 2x + 1 \le 0$ Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы: $(x+1)^2 \le 0$ Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть $(x+1)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда $(x+1)^2 = 0$. Это равенство верно только при $x+1 = 0$, то есть при $x = -1$. Таким образом, при $a = -2$ неравенство имеет единственное решение $x = -1$.

Следовательно, искомое значение параметра равно -2.

Ответ: В