Страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Какое наибольшее значение принимает выражение $x + y$, если пара чисел $(x; y)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -7? \end{cases}$

А) 1

Б) 6

В) 0

Г) -5

Для нахождения наибольшего значения выражения $x + y$, сначала решим заданную систему уравнений, чтобы найти все возможные пары чисел $(x; y)$.

Система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -7 \end{cases} $

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую

Из первого, более простого, уравнения выразим переменную $x$:

$x = y + 5$

Шаг 2: Подстановка и решение уравнения

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 5)^2 + 2(y + 5)y - y^2 = -7$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(y^2 + 10y + 25) + (2y^2 + 10y) - y^2 = -7$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 10y + 25 + 2y^2 + 10y - y^2 = -7$

$2y^2 + 20y + 25 = -7$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$2y^2 + 20y + 32 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$y^2 + 10y + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-10$, а произведение равно $16$. Корнями являются числа $-2$ и $-8$.

$y_1 = -2$

$y_2 = -8$

Шаг 3: Нахождение соответствующих значений $x$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 5$.

Для $y_1 = -2$ получаем $x_1 = -2 + 5 = 3$. Первое решение системы: $(3; -2)$.

Для $y_2 = -8$ получаем $x_2 = -8 + 5 = -3$. Второе решение системы: $(-3; -8)$.

Шаг 4: Вычисление $x+y$ и выбор наибольшего значения

Теперь вычислим сумму $x + y$ для каждой пары решений.

1. Для пары $(3; -2)$: $x + y = 3 + (-2) = 1$.

2. Для пары $(-3; -8)$: $x + y = -3 + (-8) = -11$.

Сравнивая полученные значения $1$ и $-11$, выбираем наибольшее.

Наибольшее значение выражения $x + y$ равно $1$.

Ответ: 1.

12. Пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений

$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 9. \end{cases}$$

Найдите значение выражения $a - b.$

А) 5
Б) 1
В) $\frac{1}{6}$
Г) $\frac{5}{6}$

Найдите значение выражения $a - b$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 9. \end{cases} $$ По условию, пара чисел $(a; b)$ является решением этой системы. Это значит, что если подставить $x=a$ и $y=b$ в уравнения, они превратятся в верные равенства. Наша задача — найти эти значения и вычислить разность $a - b$.

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Тогда система уравнений примет следующий вид: $$ \begin{cases} 2u + v = 4, \\ u - 3v = 9. \end{cases} $$ Теперь мы имеем стандартную систему линейных уравнений относительно переменных $u$ и $v$. Решим ее методом сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 3 \cdot (2u + v) = 3 \cdot 4, \\ u - 3v = 9. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6u + 3v = 12, \\ u - 3v = 9. \end{cases} $$ Теперь сложим левые и правые части уравнений: $$(6u + 3v) + (u - 3v) = 12 + 9$$ $$7u = 21$$ Отсюда находим $u$: $$u = \frac{21}{7} = 3$$

Подставим найденное значение $u=3$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $v$. Удобнее всего подставить в первое уравнение $2u + v = 4$: $$2 \cdot 3 + v = 4$$ $$6 + v = 4$$ $$v = 4 - 6$$ $$v = -2$$

Мы нашли, что $u=3$ и $v=-2$. Теперь вернемся к исходным переменным. Так как $x=a$ и $y=b$, то: $$u = \frac{1}{x} = \frac{1}{a} \Rightarrow 3 = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \frac{1}{3}$$ $$v = \frac{1}{y} = \frac{1}{b} \Rightarrow -2 = \frac{1}{b} \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$$

Теперь, зная значения $a$ и $b$, мы можем вычислить значение выражения $a - b$: $$a - b = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$ Приводим дроби к общему знаменателю, который равен 6: $$a - b = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ Таким образом, значение выражения равно $\frac{5}{6}$. Это соответствует варианту Г).

Ответ: $\frac{5}{6}$.

13. Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$\begin{cases} 2x - xy = 5, \\ y + xy = 6. \end{cases}$ Найдите значение выражения $|x_1y_1 - x_2y_2|$.

А) 1

Б) 11

В) 70

Г) 10

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - xy = 5 \\ y + xy = 6 \end{cases} $

Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Необходимо найти значение выражения $|x_1y_1 - x_2y_2|$.

Шаг 1: Упрощение системы уравнений

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить член $xy$:

$(2x - xy) + (y + xy) = 5 + 6$

$2x + y = 11$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 11 - 2x$

Шаг 2: Нахождение значений $x$

Подставим выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы (можно и в первое, результат будет тот же):

$y + xy = 6$

$(11 - 2x) + x(11 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$11 - 2x + 11x - 2x^2 = 6$

$-2x^2 + 9x + 11 - 6 = 0$

$-2x^2 + 9x + 5 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2x^2 - 9x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, которые и будут являться решениями $x_1$ и $x_2$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Шаг 3: Нахождение значений $y$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = 11 - 2x$:

Для $x_1 = 5$:

$y_1 = 11 - 2(5) = 11 - 10 = 1$

Первое решение системы: $(5; 1)$.

Для $x_2 = -0.5$:

$y_2 = 11 - 2(-0.5) = 11 + 1 = 12$

Второе решение системы: $(-0.5; 12)$.

Шаг 4: Вычисление значения выражения

Теперь, когда у нас есть оба решения $(x_1; y_1) = (5; 1)$ и $(x_2; y_2) = (-0.5; 12)$, мы можем вычислить значение искомого выражения $|x_1y_1 - x_2y_2|$.

Сначала найдем произведения $x_1y_1$ и $x_2y_2$:

$x_1y_1 = 5 \cdot 1 = 5$

$x_2y_2 = (-0.5) \cdot 12 = -6$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$|x_1y_1 - x_2y_2| = |5 - (-6)| = |5 + 6| = |11| = 11$

Ответ: 11

14. При каких значениях $b$ уравнение $3x^2 - bx + 3 = 0$ не имеет корней?

A) $-6 < b < 6$

Б) $b < 6$

В) $b > 6$

Г) $b < -6$ или $b > 6$

Данное уравнение $3x^2 - bx + 3 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант (D) меньше нуля.

Дискриминант для квадратного уравнения вида $ax^2+kx+c=0$ находится по формуле $D = k^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 3$, $k = -b$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант данного уравнения: $D = (-b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36$.

Для того чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$. Составим и решим это неравенство: $b^2 - 36 < 0$

Перенесем 36 в правую часть: $b^2 < 36$

Это неравенство справедливо для всех значений $b$, модуль которых меньше 6 ($|b| < 6$). Это равносильно двойному неравенству: $-6 < b < 6$

Таким образом, уравнение не имеет корней при значениях $b$, принадлежащих интервалу $(-6; 6)$. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: А) $-6 < b < 6$

15. При каком значении $a$ система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x - y = a \end{cases} $ имеет единственное решение?

А) $a = 5$

В) $a = -5$ или $a = 5$

Б) $a = 5\sqrt{2}$

Г) $a = -5\sqrt{2}$ или $a = 5\sqrt{2}$

Для того чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых графики уравнений имеют ровно одну точку пересечения. Рассмотрим два способа решения: алгебраический и геометрический.

Алгебраический способ

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\x - y = a\end{cases}$$

Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$x = y + a$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + a)^2 + y^2 = 25$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 - 25 = 0$

$2y^2 + 2ay + (a^2 - 25) = 0$

Эта система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант ($D$) равен нулю.

Для уравнения вида $Ay^2 + By + C = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=2$, $B=2a$, $C = a^2 - 25$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 25)$

$D = 4a^2 - 8(a^2 - 25)$

$D = 4a^2 - 8a^2 + 200$

$D = 200 - 4a^2$

Приравняем дискриминант к нулю:

$200 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 200$

$a^2 = \frac{200}{4}$

$a^2 = 50$

$a = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm5\sqrt{2}$

Таким образом, система имеет единственное решение при $a = 5\sqrt{2}$ или $a = -5\sqrt{2}$.

Геометрический способ

Рассмотрим уравнения системы в декартовой системе координат.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $x - y = a$, или $y = x - a$, — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси ординат.

Система имеет единственное решение в том случае, когда прямая касается окружности, то есть имеет с ней ровно одну общую точку. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

Уравнение прямой в общем виде: $x - y - a = 0$.
Центр окружности: $(x_0, y_0) = (0, 0)$.
Радиус: $R = 5$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находится по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим наши значения ($A=1, B=-1, C=-a$):

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{1+1}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Приравняем расстояние к радиусу:

$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 5$

$|a| = 5\sqrt{2}$

Из этого уравнения следует, что $a$ может принимать два значения:

$a = 5\sqrt{2}$ или $a = -5\sqrt{2}$

Оба способа дают одинаковый результат, который соответствует варианту Г.

Ответ: Г) $a = -5\sqrt{2}$ или $a = 5\sqrt{2}$

16. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 - 4x + a \geq 0$ имеет единственное решение?

А) $a = 2$ или $a = -2$

Б) $a = 2$

В) $a = -2$

Г) таких значений не существует

Рассмотрим данное неравенство $ax^2 - 4x + a \ge 0$. Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых это неравенство имеет ровно одно решение.

Проанализируем два основных случая для коэффициента $a$.

Случай 1: $a = 0$
Если $a = 0$, неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 - 4x + 0 \ge 0$ $-4x \ge 0$ Чтобы решить это неравенство, разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный: $x \le 0$ Решением является промежуток $(-\infty, 0]$, который содержит бесконечное множество чисел. Следовательно, $a=0$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $a \ne 0$
При $a \ne 0$ выражение $y = ax^2 - 4x + a$ является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Неравенство $y \ge 0$ имеет единственное решение только в том случае, когда парабола касается оси абсцисс ($Ox$) в одной точке (в своей вершине) и все остальные ее точки находятся ниже оси $Ox$.

Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это происходит, когда старший коэффициент $a$ отрицателен, то есть $a < 0$. Если бы ветви были направлены вверх ($a > 0$), то в случае касания оси $Ox$ решением неравенства $y \ge 0$ была бы вся числовая прямая, что является бесконечным множеством решений.
2. Парабола должна иметь ровно одну общую точку с осью $Ox$. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ должно иметь единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 - 4x + a$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 16 - 4a^2$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение имеет один корень: $16 - 4a^2 = 0$ $4a^2 = 16$ $a^2 = 4$ Это уравнение имеет два корня: $a = 2$ и $a = -2$.

Теперь из этих двух значений нужно выбрать то, которое удовлетворяет первому условию: $a < 0$. Этому условию удовлетворяет только $a = -2$.

Проверим найденное значение. При $a = -2$ исходное неравенство принимает вид: $-2x^2 - 4x - 2 \ge 0$ Разделим обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется на противоположный): $x^2 + 2x + 1 \le 0$ Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы: $(x+1)^2 \le 0$ Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть $(x+1)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда $(x+1)^2 = 0$. Это равенство верно только при $x+1 = 0$, то есть при $x = -1$. Таким образом, при $a = -2$ неравенство имеет единственное решение $x = -1$.

Следовательно, искомое значение параметра равно -2.

Ответ: В

17. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ не имеет решений?

А) $a < -1$ или $a > 1$

Б) $a \ge 1$

В) $-1 < a < 1$

Г) таких значений не существует

Для того чтобы неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ не имело решений, необходимо и достаточно, чтобы для всех действительных значений $x$ выполнялось противоположное неравенство: $ax^2 - 2x + a \ge 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = ax^2 - 2x + a$. Условие $f(x) \ge 0$ для всех $x$ означает, что график этой функции (парабола или прямая) должен целиком располагаться не ниже оси абсцисс.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$
Если $a = 0$, то неравенство становится линейным:
$0 \cdot x^2 - 2x + 0 \ge 0$
$-2x \ge 0$
$x \le 0$
Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x \le 0$. Следовательно, исходное неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ имеет решения (при $x > 0$). Таким образом, $a = 0$ не является решением задачи.

Случай 2: $a \ne 0$
В этом случае функция $f(x) = ax^2 - 2x + a$ является квадратичной, и её график — парабола. Чтобы парабола целиком лежала не ниже оси $Ox$, должны одновременно выполняться два условия:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это соответствует условию на старший коэффициент: $a > 0$.
2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью $Ox$ (то есть касаться её или не пересекать вовсе). Это соответствует условию на дискриминант: $D \le 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 - 2x + a$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 4 - 4a^2$.

Теперь запишем и решим систему неравенств, объединяющую эти два условия: $$ \begin{cases} a > 0 \\ 4 - 4a^2 \le 0 \end{cases} $$

Решим второе неравенство системы:
$4 - 4a^2 \le 0$
$4 \le 4a^2$
$1 \le a^2$
Неравенство $a^2 \ge 1$ выполняется, когда $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Теперь найдем общее решение системы. Мы ищем значения $a$, которые удовлетворяют одновременно условиям $a > 0$ и ($a \le -1$ или $a \ge 1$). Пересечением этих множеств является промежуток $a \ge 1$.

Итак, неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ не имеет решений при $a \ge 1$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту Б.

Ответ: $a \ge 1$.

18. При каких значениях $a$ прямая $2x - y = a$ имеет с параболой $y = x^2 - 8$ одну общую точку?

А) $a = 8$

В) $a = -9$

Б) $a = 9$

Г) таких значений не существует

Для того чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь единственное решение. Составим систему:

$ \begin{cases} 2x - y = a \\ y = x^2 - 8 \end{cases} $

Чтобы решить эту систему, подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$2x - (x^2 - 8) = a$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2x - x^2 + 8 = a$

$-x^2 + 2x + 8 - a = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$:

$x^2 - 2x - 8 + a = 0$

Сгруппируем свободные члены:

$x^2 - 2x + (a - 8) = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=(a-8)$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 8)$

$D = 4 - 4(a - 8)$

$D = 4 - 4a + 32$

$D = 36 - 4a$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $a$:

$36 - 4a = 0$

$4a = 36$

$a = \frac{36}{4}$

$a = 9$

Таким образом, при $a = 9$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку (касаются друг друга).

Ответ: Б) $a=9$