Страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

464. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 28, \\ x^2 + xy + y^2 = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ xy = 12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 19, \\ xy = -6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1. \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим известные значения из системы в формулу:

$1 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2)$

$x^2 - xy + y^2 = 1$

Теперь у нас есть новая, эквивалентная система:

$ \begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 - xy + y^2 = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - x(1-x) + (1-x)^2 = 1$

$x^2 - x + x^2 + (1 - 2x + x^2) = 1$

$3x^2 - 3x + 1 = 1$

$3x^2 - 3x = 0$

$3x(x - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 1 - 0 = 1$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, получаем два решения.

Ответ: $(0; 1), (1; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 28, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим известные значения из системы в формулу:

$28 = (x-y) \cdot 7$

Разделим обе части на 7:

$x - y = 4$

Теперь решаем новую систему:

$ \begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 4$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y+4)^2 + (y+4)y + y^2 = 7$

$(y^2 + 8y + 16) + (y^2 + 4y) + y^2 = 7$

$3y^2 + 12y + 16 = 7$

$3y^2 + 12y + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$y^2 + 4y + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 4 = 3$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 4 = 1$.

Получаем два решения.

Ответ: $(3; -1), (1; -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ (при условии, что $x \neq 0$): $y = \frac{12}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{12}{x})^2 = 7$

$x^2 - \frac{144}{x^2} = 7$

Умножим обе части на $x^2$:

$x^4 - 144 = 7x^2$

$x^4 - 7x^2 - 144 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:

$t^2 - 7t - 144 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625 = 25^2$

$t = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{7 \pm 25}{2}$

$t_1 = \frac{7 + 25}{2} = 16$

$t_2 = \frac{7 - 25}{2} = -9$

Корень $t_2 = -9$ не подходит, так как $t = x^2 \ge 0$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 16$.

Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{12}{4} = 3$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{12}{-4} = -3$.

Получаем два решения.

Ответ: $(4; 3), (-4; -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 19, \\ xy = -6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ (при условии, что $x \neq 0$): $y = -\frac{6}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x^2 - 2(-\frac{6}{x})^2 = 19$

$3x^2 - 2(\frac{36}{x^2}) = 19$

$3x^2 - \frac{72}{x^2} = 19$

Умножим обе части на $x^2$:

$3x^4 - 72 = 19x^2$

$3x^4 - 19x^2 - 72 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:

$3t^2 - 19t - 72 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-72) = 361 + 864 = 1225 = 35^2$

$t = \frac{19 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{19 \pm 35}{6}$

$t_1 = \frac{19 + 35}{6} = \frac{54}{6} = 9$

$t_2 = \frac{19 - 35}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$

Корень $t_2 = -\frac{8}{3}$ не подходит, так как $t = x^2 \ge 0$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 9$.

Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -\frac{6}{3} = -2$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -\frac{6}{-3} = 2$.

Получаем два решения.

Ответ: $(3; -2), (-3; 2)$.

465. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 56, \\ x - y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 5x^2 - y^2 = -4, \\ xy = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 56, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x через y:

$x = y + 2$

Подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы:

$(y + 2)^3 - y^3 = 56$

Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия скобок:

$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 2 + 3 \cdot y \cdot 2^2 + 2^3) - y^3 = 56$

$y^3 + 6y^2 + 12y + 8 - y^3 = 56$

Приведем подобные слагаемые:

$6y^2 + 12y + 8 = 56$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6y^2 + 12y + 8 - 56 = 0$

$6y^2 + 12y - 48 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$y^2 + 2y - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.

Таким образом, $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения x, используя подстановку $x = y + 2$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 = 4$. Получаем решение $(4; 2)$.

2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 2 = -2$. Получаем решение $(-2; -4)$.

Ответ: $(4; 2)$, $(-2; -4)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x^2 - y^2 = -4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x. Так как $xy=3$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

$y = \frac{3}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x^2 - \left(\frac{3}{x}\right)^2 = -4$

$5x^2 - \frac{9}{x^2} = -4$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$5x^2 \cdot x^2 - 9 = -4x^2$

$5x^4 + 4x^2 - 9 = 0$

Мы получили биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

$5t^2 + 4t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно t. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Найдем корни для t:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{-18}{10} = -1.8$

Корень $t_2 = -1.8$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для x: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя соотношение $y = \frac{3}{x}$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Получаем решение $(1; 3)$.

2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{3}{-1} = -3$. Получаем решение $(-1; -3)$.

Ответ: $(1; 3)$, $(-1; -3)$.

466. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3y - 2xy = 2 \\ x + 2xy = 5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy + y = 30 \\ xy + x = 28 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3x - 2y = 10 \\ 5xy - 2x^2 + 7x - 8y = 10 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3y - 2xy = 2 \\ x + 2xy = 5 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений. Члены $-2xy$ и $2xy$ взаимно уничтожатся:

$(3y - 2xy) + (x + 2xy) = 2 + 5$

$x + 3y = 7$

Из полученного уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 7 - 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $x + 2xy = 5$:

$(7 - 3y) + 2(7 - 3y)y = 5$

Раскроем скобки и упростим:

$7 - 3y + 14y - 6y^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:

$-6y^2 + 11y + 7 - 5 = 0$

$-6y^2 + 11y + 2 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$6y^2 - 11y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{-(-11) + 13}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$y_2 = \frac{-(-11) - 13}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 7 - 3y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1$.

Если $y_2 = -\frac{1}{6}$, то $x_2 = 7 - 3 \cdot (-\frac{1}{6}) = 7 + \frac{3}{6} = 7 + \frac{1}{2} = 7.5$.

Ответ: $(1, 2)$, $(7.5, -1/6)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy + y = 30 \\ xy + x = 28 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(xy + y) - (xy + x) = 30 - 28$

$y - x = 2$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $xy + x = 28$:

$x(x + 2) + x = 28$

$x^2 + 2x + x = 28$

$x^2 + 3x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -28$. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = x + 2$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 + 2 = 6$.

Если $x_2 = -7$, то $y_2 = -7 + 2 = -5$.

Ответ: $(4, 6)$, $(-7, -5)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$

$2x^2 + 2x = 24$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + x = 12 \implies x^2 + x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6$

$2y^2 + 2y = 12$

Разделим уравнение на 2:

$y^2 + y = 6 \implies y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Мы получили возможные значения для $x$ и $y$. Теперь необходимо проверить, какие пары $(x, y)$ являются решениями исходной системы. Подставим найденные значения $x$ в одно из уравнений, например, в $x^2 + x - 12 = 0$ (которое мы получили) и проверим, удовлетворяют ли получившиеся пары второму уравнению.

Сначала подставим $x=3$ в первое исходное уравнение:

$3^2 + y^2 + 3 + y = 18 \implies 9 + y^2 + 3 + y = 18 \implies y^2 + y - 6 = 0$

Корни этого уравнения $y = 2$ и $y = -3$. Таким образом, мы получаем две возможные пары: $(3, 2)$ и $(3, -3)$.

Теперь подставим $x=-4$ в первое исходное уравнение:

$(-4)^2 + y^2 - 4 + y = 18 \implies 16 + y^2 - 4 + y = 18 \implies y^2 + y - 6 = 0$

Корни этого уравнения также $y = 2$ и $y = -3$. Получаем еще две возможные пары: $(-4, 2)$ и $(-4, -3)$.

Проверим все четыре пары, подставив их во второе исходное уравнение $x^2 - y^2 + x - y = 6$:

Для $(3, 2): 3^2 - 2^2 + 3 - 2 = 9 - 4 + 1 = 6$. Верно.

Для $(3, -3): 3^2 - (-3)^2 + 3 - (-3) = 9 - 9 + 3 + 3 = 6$. Верно.

Для $(-4, 2): (-4)^2 - 2^2 + (-4) - 2 = 16 - 4 - 4 - 2 = 6$. Верно.

Для $(-4, -3): (-4)^2 - (-3)^2 + (-4) - (-3) = 16 - 9 - 4 + 3 = 6$. Верно.

Все четыре пары являются решениями.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -3)$, $(-4, 2)$, $(-4, -3)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3x - 2y = 10 \\ 5xy - 2x^2 + 7x - 8y = 10 \end{cases}$

Заметим, что в уравнениях есть противоположные члены $2x^2$ и $-2x^2$, а также $-5xy$ и $5xy$. Это наводит на мысль о сложении уравнений.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x^2 - 5xy + 3x - 2y) + (5xy - 2x^2 + 7x - 8y) = 10 + 10$

$(2x^2 - 2x^2) + (-5xy + 5xy) + (3x + 7x) + (-2y - 8y) = 20$

$10x - 10y = 20$

Разделим обе части на 10:

$x - y = 2 \implies x = y + 2$

Подставим выражение $x = y + 2$ в первое уравнение исходной системы:

$2(y+2)^2 - 5(y+2)y + 3(y+2) - 2y = 10$

Раскроем скобки:

$2(y^2 + 4y + 4) - (5y^2 + 10y) + (3y + 6) - 2y = 10$

$2y^2 + 8y + 8 - 5y^2 - 10y + 3y + 6 - 2y = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y^2 - 5y^2) + (8y - 10y + 3y - 2y) + (8 + 6) = 10$

$-3y^2 - y + 14 = 10$

$-3y^2 - y + 4 = 0$

Умножим на $-1$:

$3y^2 + y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 2$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -\frac{4}{3}$, то $x_2 = -\frac{4}{3} + 2 = -\frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $(3, 1)$, $(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3})$.

467. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y - xy = 1, \\ x + y + xy = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3xy + 2x = -4, \\ 3xy + y = -8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy - x = 24, \\ xy - y = 25; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66, \\ 2x^2 - y^2 = 34. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y - xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases} $
Этот тип систем удобно решать методом алгебраического сложения и вычитания.
Сложим первое и второе уравнения системы:
$ (x + y - xy) + (x + y + xy) = 1 + 9 $
$ 2x + 2y = 10 $
$ x + y = 5 $
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$ (x + y + xy) - (x + y - xy) = 9 - 1 $
$ 2xy = 8 $
$ xy = 4 $
В результате мы получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это уравнение, разложив на множители:
$ (t - 1)(t - 4) = 0 $
Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1, 4)$ и $(4, 1)$.
Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

2) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 3xy + 2x = -4 \\ 3xy + y = -8 \end{cases} $
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы избавиться от члена $3xy$:
$ (3xy + 2x) - (3xy + y) = -4 - (-8) $
$ 2x - y = 4 $
Выразим $y$ через $x$:
$ y = 2x - 4 $
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы:
$ 3x(2x - 4) + (2x - 4) = -8 $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 6x^2 - 12x + 2x - 4 = -8 $
$ 6x^2 - 10x + 4 = 0 $
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{6} $
$ x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
$ x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x - 4$:
Если $x_1 = \frac{2}{3}$, то $y_1 = 2(\frac{2}{3}) - 4 = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{8}{3}$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{2}{3}, -\frac{8}{3}), (1, -2)$.

3) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} xy - x = 24 \\ xy - y = 25 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$ (xy - y) - (xy - x) = 25 - 24 $
$ x - y = 1 $
Выразим $x$ через $y$:
$ x = y + 1 $
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$ (y + 1)y - (y + 1) = 24 $
$ y^2 + y - y - 1 = 24 $
$ y^2 - 1 = 24 $
$ y^2 = 25 $
Отсюда $y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 1$:
Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 5 + 1 = 6$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 1 = -4$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(6, 5), (-4, -5)$.

4) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66 \\ 2x^2 - y^2 = 34 \end{cases} $
Данная система является линейной относительно переменных $x^2$ и $y^2$. Используем метод сложения.
Сложим два уравнения системы:
$ (2x^2 + y^2) + (2x^2 - y^2) = 66 + 34 $
$ 4x^2 = 100 $
$ x^2 = 25 $
Отсюда $x = \pm 5$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (2x^2 + y^2) - (2x^2 - y^2) = 66 - 34 $
$ 2y^2 = 32 $
$ y^2 = 16 $
Отсюда $y = \pm 4$.
Поскольку в уравнения входят только $x^2$ и $y^2$, любая комбинация знаков для $x$ и $y$ будет являться решением.
Таким образом, мы имеем четыре пары решений.
Ответ: $(5, 4), (5, -4), (-5, 4), (-5, -4)$.

468. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 - 12xy + 36y^2 = 36, \\ x + 6y = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 - 2xy = 32, \\ x^2 + 6xy + 9y^2 = 100; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 9x^2 + y^2 = 10, \\ xy = -1. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 12xy + 36y^2 = 36, \\ x + 6y = 8; \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Его левая часть представляет собой полный квадрат разности, так как $x^2 - 12xy + 36y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (6y) + (6y)^2 = (x - 6y)^2$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$(x - 6y)^2 = 36$

Из этого уравнения следует, что $x - 6y$ может быть равно $6$ или $-6$. Это дает нам два случая.

Случай 1: $x - 6y = 6$.

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - 6y = 6, \\ x + 6y = 8; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(x - 6y) + (x + 6y) = 6 + 8$, что приводит к $2x = 14$, и, следовательно, $x = 7$.

Подставим значение $x = 7$ во второе уравнение системы: $7 + 6y = 8$.

Отсюда $6y = 1$, и $y = \frac{1}{6}$.

Первая пара решений: $(7, \frac{1}{6})$.

Случай 2: $x - 6y = -6$.

Получаем вторую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - 6y = -6, \\ x + 6y = 8; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(x - 6y) + (x + 6y) = -6 + 8$, что приводит к $2x = 2$, и, следовательно, $x = 1$.

Подставим значение $x = 1$ во второе уравнение системы: $1 + 6y = 8$.

Отсюда $6y = 7$, и $y = \frac{7}{6}$.

Вторая пара решений: $(1, \frac{7}{6})$.

Ответ: $(7; \frac{1}{6}), (1; \frac{7}{6})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - 2xy = 32, \\ x^2 + 6xy + 9y^2 = 100; \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение. Его левая часть является полным квадратом суммы: $x^2 + 6xy + 9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$.

Таким образом, второе уравнение можно переписать в виде:

$(x + 3y)^2 = 100$

Из этого уравнения следует, что $x + 3y$ может быть равно $10$ или $-10$. Это дает нам два случая.

Случай 1: $x + 3y = 10$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 10 - 3y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $y^2 - 2xy = 32$:

$y^2 - 2(10 - 3y)y = 32$

$y^2 - 20y + 6y^2 = 32$

$7y^2 - 20y - 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-32) = 400 + 896 = 1296 = 36^2$.

$y_1 = \frac{20 + 36}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$.

$y_2 = \frac{20 - 36}{2 \cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 10 - 3 \cdot 4 = 10 - 12 = -2$.

Если $y_2 = -\frac{8}{7}$, то $x_2 = 10 - 3 \cdot (-\frac{8}{7}) = 10 + \frac{24}{7} = \frac{70+24}{7} = \frac{94}{7}$.

Случай 2: $x + 3y = -10$.

Выразим $x$ через $y$: $x = -10 - 3y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $y^2 - 2xy = 32$:

$y^2 - 2(-10 - 3y)y = 32$

$y^2 + 20y + 6y^2 = 32$

$7y^2 + 20y - 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 20^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-32) = 400 + 896 = 1296 = 36^2$.

$y_3 = \frac{-20 + 36}{2 \cdot 7} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.

$y_4 = \frac{-20 - 36}{2 \cdot 7} = \frac{-56}{14} = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{8}{7}$, то $x_3 = -10 - 3 \cdot \frac{8}{7} = -10 - \frac{24}{7} = \frac{-70-24}{7} = -\frac{94}{7}$.

Если $y_4 = -4$, то $x_4 = -10 - 3 \cdot (-4) = -10 + 12 = 2$.

Ответ: $(-2; 4), (\frac{94}{7}; -\frac{8}{7}), (-\frac{94}{7}; \frac{8}{7}), (2; -4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases}$

Это симметрическая система. Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = 24$.

Сложим уравнение $x^2 + y^2 = 25$ с уравнением $2xy = 24$:

$x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24$

$(x+y)^2 = 49$, откуда $x+y=7$ или $x+y=-7$.

Вычтем уравнение $2xy = 24$ из уравнения $x^2 + y^2 = 25$:

$x^2 - 2xy + y^2 = 25 - 24$

$(x-y)^2 = 1$, откуда $x-y=1$ или $x-y=-1$.

Теперь рассмотрим четыре возможные системы линейных уравнений:

1) $\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=8 \implies x=4$. Тогда $4+y=7 \implies y=3$. Решение: $(4, 3)$.

2) $\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=6 \implies x=3$. Тогда $3+y=7 \implies y=4$. Решение: $(3, 4)$.

3) $\begin{cases} x+y=-7 \\ x-y=1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=-6 \implies x=-3$. Тогда $-3+y=-7 \implies y=-4$. Решение: $(-3, -4)$.

4) $\begin{cases} x+y=-7 \\ x-y=-1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=-8 \implies x=-4$. Тогда $-4+y=-7 \implies y=-3$. Решение: $(-4, -3)$.

Ответ: $(4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9x^2 + y^2 = 10, \\ xy = -1; \end{cases}$

Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$. Используем метод, аналогичный предыдущему заданию. Умножим второе уравнение на 6: $6xy = -6$.

Сложим уравнение $9x^2+y^2=10$ с уравнением $6xy=-6$:

$9x^2 + 6xy + y^2 = 10 - 6$

$(3x+y)^2 = 4$, откуда $3x+y=2$ или $3x+y=-2$.

Это дает нам два случая.

Случай 1: $3x + y = 2$.

Выразим $y$: $y = 2 - 3x$. Подставим во второе уравнение системы $xy = -1$:

$x(2 - 3x) = -1$

$2x - 3x^2 = -1$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

$x_1 = \frac{2+4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$. Тогда $y_1 = 2 - 3(1) = -1$.

$x_2 = \frac{2-4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. Тогда $y_2 = 2 - 3(-\frac{1}{3}) = 2 + 1 = 3$.

Случай 2: $3x + y = -2$.

Выразим $y$: $y = -2 - 3x$. Подставим во второе уравнение системы $xy = -1$:

$x(-2 - 3x) = -1$

$-2x - 3x^2 = -1$

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

$x_3 = \frac{-2+4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Тогда $y_3 = -2 - 3(\frac{1}{3}) = -2 - 1 = -3$.

$x_4 = \frac{-2-4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$. Тогда $y_4 = -2 - 3(-1) = -2 + 3 = 1$.

Ответ: $(1; -1), (-\frac{1}{3}; 3), (\frac{1}{3}; -3), (-1; 1)$.

469. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 10xy + 25y^2 = 49 \\ x - 5y = -3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y \\ x + 2y = 4 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 25y^2 = 104 \\ xy = -4 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 10xy + 25y^2 = 49, \\x - 5y = -3;\end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=5y$.

$x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2$.

Тогда первое уравнение можно переписать в виде $(x + 5y)^2 = 49$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$x + 5y = 7$ или $x + 5y = -7$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, объединяя его со вторым уравнением системы.

Случай а) Решаем систему:

$\begin{cases}x + 5y = 7, \\x - 5y = -3;\end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x + 5y) + (x - 5y) = 7 + (-3)$, что дает $2x = 4$, откуда $x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе уравнение $x - 5y = -3$: $2 - 5y = -3$.

Отсюда $-5y = -5$, то есть $y = 1$.

Первое решение: $(2, 1)$.

Случай б) Решаем систему:

$\begin{cases}x + 5y = -7, \\x - 5y = -3;\end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x + 5y) + (x - 5y) = -7 + (-3)$, что дает $2x = -10$, откуда $x = -5$.

Подставим $x = -5$ во второе уравнение $x - 5y = -3$: $-5 - 5y = -3$.

Отсюда $-5y = 2$, то есть $y = -2/5$.

Второе решение: $(-5, -2/5)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-5, -2/5)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y, \\x + 2y = 4;\end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$.

Таким образом, первое уравнение можно записать как $(x + 2y)^2 = 4x + 2y$.

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x + 2y = 4$.

Подставим это значение в левую часть преобразованного первого уравнения:

$4^2 = 4x + 2y$,

$16 = 4x + 2y$.

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases}4x + 2y = 16, \\x + 2y = 4;\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(4x + 2y) - (x + 2y) = 16 - 4$.

Это дает $3x = 12$, откуда $x = 4$.

Подставим $x = 4$ во второе уравнение $x + 2y = 4$:

$4 + 2y = 4$,

$2y = 0$,

$y = 0$.

Проверим решение $(4, 0)$ в исходной системе. Первое уравнение: $4^2 + 4(4)(0) + 4(0)^2 = 16$ и $4(4) + 2(0) = 16$. $16=16$. Второе уравнение: $4+2(0)=4$. $4=4$. Решение верно.

Ответ: $(4, 0)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 10, \\xy = 3;\end{cases}$

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2+y^2) + 2xy$.

Подставим известные значения из системы: $(x+y)^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 16$.

Отсюда $x+y = 4$ или $x+y = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай а) $x+y=4$ и $xy=3$.

Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставляем значения: $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай б) $x+y=-4$ и $xy=3$.

Аналогично, составляем квадратное уравнение: $t^2 - (-4)t + 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 3 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 25y^2 = 104, \\xy = -4;\end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать формулы квадрата суммы и разности. Умножим второе уравнение на 10: $10xy = -40$.

Рассмотрим выражение $(x+5y)^2$:

$(x+5y)^2 = x^2 + 10xy + 25y^2 = (x^2+25y^2) + 10xy = 104 + (-40) = 64$.

Отсюда $x+5y=8$ или $x+5y=-8$.

Рассмотрим выражение $(x-5y)^2$:

$(x-5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2 = (x^2+25y^2) - 10xy = 104 - (-40) = 104+40=144$.

Отсюда $x-5y=12$ или $x-5y=-12$.

Теперь мы можем решить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные результаты.

Случай а)$\begin{cases}x + 5y = 8, \\x - 5y = 12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = 20 \Rightarrow x=10$. Подставляя в первое уравнение: $10 + 5y = 8 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -2/5$. Решение: $(10, -2/5)$.

Случай б)$\begin{cases}x + 5y = 8, \\x - 5y = -12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = -4 \Rightarrow x=-2$. Подставляя в первое уравнение: $-2 + 5y = 8 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$. Решение: $(-2, 2)$.

Случай в)$\begin{cases}x + 5y = -8, \\x - 5y = 12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = 4 \Rightarrow x=2$. Подставляя в первое уравнение: $2 + 5y = -8 \Rightarrow 5y = -10 \Rightarrow y = -2$. Решение: $(2, -2)$.

Случай г)$\begin{cases}x + 5y = -8, \\x - 5y = -12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = -20 \Rightarrow x=-10$. Подставляя в первое уравнение: $-10 + 5y = -8 \Rightarrow 5y = 2 \Rightarrow y = 2/5$. Решение: $(-10, 2/5)$.

Ответ: $(10, -2/5)$, $(-2, 2)$, $(2, -2)$, $(-10, 2/5)$.

470. При каких значениях $a$ система уравнений$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 9, \\x - y = a\end{cases}$$

1) имеет одно решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Для решения данной системы уравнений можно использовать как алгебраический, так и графический метод. Графически первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ представляет собой окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Второе уравнение $x - y = a$, или $y = x - a$, — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $1$. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения прямой и окружности.

Мы воспользуемся алгебраическим методом. Выразим $x$ из второго уравнения и подставим в первое.

Из $x - y = a$ следует, что $x = y + a$.

Подставим это выражение в первое уравнение:$(y + a)^2 + y^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно переменной $y$:$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 9$$2y^2 + 2ay + (a^2 - 9) = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения (а следовательно, и исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$.Найдем дискриминант:$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8(a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2$.

1) имеет одно решение

Система имеет одно решение, когда квадратное уравнение имеет один корень, то есть когда дискриминант равен нулю ($D=0$).$72 - 4a^2 = 0$$4a^2 = 72$$a^2 = 18$$a = \pm\sqrt{18}$$a = \pm 3\sqrt{2}$

Ответ: $a = 3\sqrt{2}$ или $a = -3\sqrt{2}$.

2) имеет два решения

Система имеет два решения, когда квадратное уравнение имеет два различных корня, то есть когда дискриминант больше нуля ($D>0$).$72 - 4a^2 > 0$$72 > 4a^2$$18 > a^2$$a^2 < 18$Это неравенство выполняется при $- \sqrt{18} < a < \sqrt{18}$, то есть $-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2})$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней, то есть когда дискриминант меньше нуля ($D<0$).$72 - 4a^2 < 0$$72 < 4a^2$$18 < a^2$$a^2 > 18$Это неравенство выполняется при $a > \sqrt{18}$ или $a < -\sqrt{18}$, то есть $a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}; +\infty)$.