Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство:

1) $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0;$

2) $x(x - 3)(x + 2) < 0;$

3) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0;$

4) $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0.$

1) Решим неравенство $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0$ методом интервалов.
Сначала найдем нули выражения, приравняв каждую скобку к нулю:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
$x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5$
Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -5, -1, 2. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале.
- В интервале $(2; +\infty)$, например, при $x=3$: $(3+1)(3-2)(3+5) = 4 \cdot 1 \cdot 8 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-1; 2)$, например, при $x=0$: $(0+1)(0-2)(0+5) = 1 \cdot (-2) \cdot 5 < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-5; -1)$, например, при $x=-2$: $(-2+1)(-2-2)(-2+5) = (-1) \cdot (-4) \cdot 3 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-\infty; -5)$, например, при $x=-6$: $(-6+1)(-6-2)(-6+5) = (-5) \cdot (-8) \cdot (-1) < 0$. Знак «-».
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-5; -1)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $x(x - 3)(x + 2) < 0$ методом интервалов.
Найдем нули выражения:
$x_1 = 0$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$
Отметим точки -2, 0, 3 на числовой оси. Неравенство строгое (<), поэтому точки выколотые. Они образуют интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах:
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $4(4-3)(4+2) > 0$. Знак «+».
- При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $1(1-3)(1+2) < 0$. Знак «-».
- При $-2 < x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-1-3)(-1+2) > 0$. Знак «+».
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3)(-3-3)(-3+2) < 0$. Знак «-».
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(0; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$.

3) Решим неравенство $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$.
Для удобства приведем множитель $(3 - x)$ к стандартному виду $(x-3)$, вынеся за скобку -1:
$(2x - 1) \cdot (-(x - 3)) \cdot (x + 1) < 0$
$-(2x - 1)(x - 3)(x + 1) < 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули:
$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1/2$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$
Отметим точки -1, 1/2, 3 на числовой оси. Точки выколотые. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 3)$, $(3; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(2x - 1)(x - 3)(x + 1)$:
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- При $1/2 < x < 3$ (например, $x=1$): $(+)(-)(+) < 0$. Знак «-».
- При $-1 < x < 1/2$ (например, $x=0$): $(-)(-)(+) > 0$. Знак «+».
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(-) < 0$. Знак «-».
Мы ищем решения для неравенства $(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-1; 1/2)$ и $(3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0$ методом интервалов.
Найдем нули выражения:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x_1 = -3/2 = -1.5$
$3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_2 = 1/3$
$x + 4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4$
Расположим точки на числовой оси: -4, -1.5, 1/3. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Получаем интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3/2)$, $(-3/2; 1/3)$, $(1/3; +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах:
- При $x > 1/3$ (например, $x=1$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- При $-3/2 < x < 1/3$ (например, $x=0$): $(+)(-)(+) < 0$. Знак «-».
- При $-4 < x < -3/2$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(+) > 0$. Знак «+».
- При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-)(-)(-) < 0$. Знак «-».
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это $(-4; -3/2)$ и $(1/3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; -3/2) \cup (1/3; +\infty)$.

2. Решите неравенство:

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0;$

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0;$

3) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0.$

1) Решим неравенство $(2x + 1)(x - 3)(x² + 4) < 0$.

Рассмотрим каждый множитель:

• $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x² + 4$. Так как $x² \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x² + 4 \ge 4$. Это означает, что множитель $x² + 4$ всегда положителен и на знак неравенства не влияет.

Таким образом, мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $x² + 4$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(2x + 1)(x - 3) < 0$

Это квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов. Найдем корни уравнения $(2x + 1)(x - 3) = 0$. Корни: $x_1 = -1/2$ и $x_2 = 3$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $(2x + 1)(x - 3)$ в каждом из получившихся интервалов:

• При $x < -1/2$ (например, $x = -1$): $(2(-1) + 1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0$.
• При $-1/2 < x < 3$ (например, $x = 0$): $(2(0) + 1)(0 - 3) = (1)(-3) = -3 < 0$.
• При $x > 3$ (например, $x = 4$): $(2(4) + 1)(4 - 3) = (9)(1) = 9 > 0$.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-1/2; 3)$.

2) Решим неравенство $(2 - x)(3x + 5)(x² - x + 1) > 0$.

Рассмотрим множитель $x² - x + 1$. Найдем его дискриминант: $D = b² - 4ac = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), то квадратный трехчлен $x² - x + 1$ принимает положительные значения при любых $x$.

Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $x² - x + 1$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(2 - x)(3x + 5) > 0$

Для удобства применения метода интервалов преобразуем множитель $(2 - x)$ к виду $-(x - 2)$:

$-(x - 2)(3x + 5) > 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 2)(3x + 5) < 0$

Найдем корни: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $3x + 5 = 0 \implies x = -5/3$.

Отметим точки $x = -5/3$ и $x = 2$ на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:

• При $x < -5/3$: $(-)(-)=+$.
• При $-5/3 < x < 2$: $(-)(+)=-$.
• При $x > 2$: $(+)(+)=+$.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-5/3; 2)$.

3) Решим неравенство $(2x + 1)²(x² - 4x + 3) > 0$.

Рассмотрим множитель $(2x + 1)²$. Квадрат любого выражения, не равного нулю, всегда положителен. Он равен нулю при $2x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/2$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), левая часть не может быть равна нулю. Значит, мы должны исключить значение $x = -1/2$ из решения. При всех остальных $x$ множитель $(2x + 1)²$ положителен, и мы можем разделить на него неравенство:

$x² - 4x + 3 > 0$

Решим это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x² - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x - 3) > 0$.

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < 1$ или $x > 3$.

Теперь объединим это решение с условием $x \neq -1/2$.

Точка $x = -1/2$ входит в промежуток $x < 1$, поэтому ее нужно исключить.

Решение можно записать в виде объединения трех интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (-1/2; 1) \cup (3; +\infty)$.

3. Решите неравенство:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0;$

2) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0;$

3) $\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0;$

4) $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x+3}{x-1} > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может поменять знак.
Нуль числителя: $x+3 = 0 \implies x = -3$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x-1 = 0 \implies x = 1$.
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки будут выколотыми (не включаются в решение).

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив любое значение из него.

• При $x > 1$, например $x=2$: $\frac{2+3}{2-1} = 5 > 0$. Знак «+».
• При $-3 < x < 1$, например $x=0$: $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак «-».
• При $x < -3$, например $x=-4$: $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, -3)$ и $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0$ методом интервалов.

Нули числителя: $(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1=2, x_2=-1$.
Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x_3=4$.
Отметим точки -1, 2, 4 на числовой оси. Неравенство строгое (<), поэтому все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах. Так как все множители имеют первую степень, знаки будут чередоваться. Проверим знак на крайнем правом интервале $(4, \infty)$, взяв $x=5$:
$\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} = 18 > 0$. Знак «+».
Расставим знаки на остальных интервалах: $(-\infty, -1)$ - «-»; $(-1, 2)$ - «+»; $(2, 4)$ - «-».
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, -1)$ и $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4)$.

3) Решим неравенство $\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0$.

Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы коэффициент при $x$ во всех множителях был положительным.
$2-x = -(x-2)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(2x+1)(x-3)}{-(x-2)(x-5)} < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-2)(x-5)} > 0$.
Найдем нули:
$2x+1=0 \implies x = -0.5$
$x-3=0 \implies x = 3$
$x-2=0 \implies x = 2$
$x-5=0 \implies x = 5$
Отметим точки -0.5, 2, 3, 5 на числовой оси. Все точки выколотые.

Проверим знак на крайнем правом интервале $(5, \infty)$, взяв $x=6$:
$\frac{(2\cdot 6+1)(6-3)}{(6-2)(6-5)} = \frac{13 \cdot 3}{4 \cdot 1} > 0$. Знак «+».
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки чередуются.
Нам нужны интервалы, где преобразованное выражение больше нуля. Это $(-\infty, -0.5)$, $(2, 3)$ и $(5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -0.5) \cup (2, 3) \cup (5, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$.

Преобразуем множитель $(1-4x) = -(4x-1)$.
$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{-(x-8)(4x-1)} > 0$.
Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:
$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(4x-1)} < 0$.
Найдем нули и определим их кратность:
$x=0$ (из $x^3$, кратность 3 - нечетная)
$x=1$ (из $(x-1)^4$, кратность 4 - четная)
$x=-5$ (из $x+5$, кратность 1 - нечетная)
$x=8$ (из $x-8$, кратность 1 - нечетная)
$x=1/4$ (из $4x-1$, кратность 1 - нечетная)
Отметим точки -5, 0, 1/4, 1, 8 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знак на крайнем правом интервале $(8, \infty)$, взяв $x=10$:
$\frac{10^3(10-1)^4(10+5)}{(10-8)(4\cdot 10-1)} > 0$. Знак «+».
Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.

• $(8, \infty)$: «+»
• $x=8$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(1, 8)$: «-»
• $x=1$ (четная): знак сохраняется. Интервал $(1/4, 1)$: «-»
• $x=1/4$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(0, 1/4)$: «+»
• $x=0$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(-5, 0)$: «-»
• $x=-5$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(-\infty, -5)$: «+»

Нам нужны интервалы, где преобразованное выражение меньше нуля. Это $(-5, 0)$, $(1/4, 1)$ и $(1, 8)$.
Ответ: $x \in (-5, 0) \cup (1/4, 1) \cup (1, 8)$.

4. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x} < 1;$

2) $\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2};$

3) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3};$

4) $\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1.$

1) $\frac{1}{x} < 1$
Для решения неравенства перенесем все его члены в левую часть:
$\frac{1}{x} - 1 < 0$
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{1 - x}{x} < 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Отметим точки $x=0$ и $x=1$ на числовой прямой. Обе точки будут выколотыми (незакрашенными), так как неравенство строгое, а $x=0$ к тому же обращает знаменатель в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.
Определим знак выражения $\frac{1-x}{x}$ в каждом интервале:
- В интервале $(-\infty, 0)$, взяв, например, $x=-1$, получаем $\frac{1-(-1)}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$. Знак "минус".
- В интервале $(0, 1)$, взяв, например, $x=0.5$, получаем $\frac{1-0.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0$. Знак "плюс".
- В интервале $(1, \infty)$, взяв, например, $x=2$, получаем $\frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2} < 0$. Знак "минус".
Поскольку мы решаем неравенство $\frac{1 - x}{x} < 0$, нам нужны интервалы, где выражение отрицательно (имеет знак "минус").
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2) $\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2}$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{x}{x+3} - \frac{1}{2} > 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $2(x+3)$:
$\frac{2x - 1(x+3)}{2(x+3)} > 0$
$\frac{2x - x - 3}{2(x+3)} > 0$
$\frac{x - 3}{2(x+3)} > 0$
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
Нанесем точки $x=-3$ и $x=3$ на числовую ось. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое и $x=-3$ не входит в область определения.
Определим знаки выражения $\frac{x-3}{2(x+3)}$ на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$:
- При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$: $\frac{-4-3}{2(-4+3)} = \frac{-7}{-2} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-3, 3)$, например $x=0$: $\frac{0-3}{2(0+3)} = \frac{-3}{6} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (3, \infty)$, например $x=4$: $\frac{4-3}{2(4+3)} = \frac{1}{14} > 0$. Знак "плюс".
Так как мы решаем неравенство $> 0$, выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

3) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-3} < 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -2$ и $x \neq 3$. Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:
$\frac{1(x-3) - 3(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0$
$\frac{x-3 - 3x - 6}{(x+2)(x-3)} < 0$
$\frac{-2x - 9}{(x+2)(x-3)} < 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2x + 9}{(x+2)(x-3)} > 0$
Решим методом интервалов.
Нуль числителя: $2x + 9 = 0 \Rightarrow x = -4.5$.
Нули знаменателя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ и $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
Нанесем точки $x=-4.5$, $x=-2$, $x=3$ на числовую ось. Все точки выколотые.
Определим знаки выражения $\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}$ на полученных интервалах:
- При $x \in (-\infty, -4.5)$, например $x=-5$: $\frac{2(-5)+9}{(-5+2)(-5-3)} = \frac{-1}{(-3)(-8)} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (-4.5, -2)$, например $x=-3$: $\frac{2(-3)+9}{(-3+2)(-3-3)} = \frac{3}{(-1)(-6)} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-2, 3)$, например $x=0$: $\frac{0+9}{(0+2)(0-3)} = \frac{9}{-6} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (3, \infty)$, например $x=4$: $\frac{2(4)+9}{(4+2)(4-3)} = \frac{17}{6} > 0$. Знак "плюс".
Так как мы решаем неравенство $> 0$, выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-4.5, -2) \cup (3, \infty)$.

4) $\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1$
ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 1$. Преобразуем вторую дробь: $\frac{2}{1-x} = -\frac{2}{x-1}$.
$\frac{4}{x+1} - \frac{2}{x-1} < 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем все к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:
$\frac{4(x-1) - 2(x+1) - 1(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} < 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{4x - 4 - 2x - 2 - (x^2 - 1)}{(x+1)(x-1)} < 0$
$\frac{2x - 6 - x^2 + 1}{(x+1)(x-1)} < 0$
$\frac{-x^2 + 2x - 5}{(x+1)(x-1)} < 0$
Умножим обе части на -1 и поменяем знак неравенства:
$\frac{x^2 - 2x + 5}{(x+1)(x-1)} > 0$
Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 5$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 5$ принимает только положительные значения при любых $x$.
Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$(x+1)(x-1) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x=-1$ и $x=1$.
Определим знаки выражения $(x+1)(x-1)$ на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$:
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$: $(-2+1)(-2-1) = (-1)(-3) = 3 > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$: $(0+1)(0-1) = -1 < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (1, \infty)$, например $x=2$: $(2+1)(2-1) = 3 > 0$. Знак "плюс".
Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.