Страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

459. Докажите, что:

1) прямая $y = -2x - 4$ и парабола $y = 6x^2 - 7x - 2$ не пересекаются;

2) парабола $y = 4x^2 - 3x + 6$ и прямая $y = x + 5$ имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;

3) параболы $y = 4x^2 - 3x - 24$ и $y = 2x^2 - 5x$ имеют две общие точки, найдите их координаты.

1) прямая $y = -2x - 4$ и парабола $y = 6x^2 - 7x - 2$ не пересекаются;

Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$: $$-2x - 4 = 6x^2 - 7x - 2$$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$: $$6x^2 - 7x + 2x - 2 + 4 = 0$$ $$6x^2 - 5x + 2 = 0$$

Количество точек пересечения определяется количеством действительных корней этого квадратного уравнения. Найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=6, b=-5, c=2$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 25 - 48 = -23$$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у графиков функций нет общих точек, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что графики не пересекаются.

2) парабола $y = 4x^2 - 3x + 6$ и прямая $y = x + 5$ имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;

Чтобы найти общую точку, приравняем выражения для $y$: $$4x^2 - 3x + 6 = x + 5$$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $$4x^2 - 3x - x + 6 - 5 = 0$$ $$4x^2 - 4x + 1 = 0$$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4, b=-4, c=1$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$$ Так как $D=0$, уравнение имеет ровно один корень, а значит, графики имеют одну общую точку.

Найдем абсциссу этой точки. Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x - 1)^2 = 0$. Отсюда $2x - 1 = 0$, следовательно, $x = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем ординату точки, подставив значение $x$ в уравнение прямой (это проще): $$y = x + 5 = \frac{1}{2} + 5 = 5.5$$

Таким образом, координаты общей точки $(\frac{1}{2}, 5.5)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 5.5)$ или $(0.5, 5.5)$.

3) параболы $y = 4x^2 - 3x - 24$ и $y = 2x^2 - 5x$ имеют две общие точки, найдите их координаты.

Для нахождения общих точек приравняем правые части уравнений парабол: $$4x^2 - 3x - 24 = 2x^2 - 5x$$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые: $$4x^2 - 2x^2 - 3x + 5x - 24 = 0$$ $$2x^2 + 2x - 24 = 0$$

Для упрощения разделим все уравнение на 2: $$x^2 + x - 12 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-1$. Этим условиям удовлетворяют числа $-4$ и $3$. $$x_1 = -4, \quad x_2 = 3$$ Поскольку мы получили два различных действительных корня, параболы имеют две общие точки.

Найдем соответствующие ординаты (y) для каждого значения $x$, подставив их в одно из исходных уравнений, например, в $y = 2x^2 - 5x$:

Для $x_1 = -4$: $$y_1 = 2(-4)^2 - 5(-4) = 2(16) + 20 = 32 + 20 = 52$$ Первая точка пересечения: $(-4, 52)$.

Для $x_2 = 3$: $$y_2 = 2(3)^2 - 5(3) = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$$ Вторая точка пересечения: $(3, 3)$.

Ответ: $(-4, 52)$ и $(3, 3)$.

460. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, \\ 2x - y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1, \\ x + 5y = 3. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:$$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\2x - y = 2 \end{cases}$$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 2x - 2$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 2} = \frac{1}{12}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(2x - 2) - x}{x(2x - 2)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x - 2}{2x^2 - 2x} = \frac{1}{12}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$12(x - 2) = 1(2x^2 - 2x)$
$12x - 24 = 2x^2 - 2x$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 2x - 12x + 24 = 0$
$2x^2 - 14x + 24 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
2. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$.
Получили две пары решений: $(3; 4)$ и $(4; 6)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(3; 4), (4; 6)$.

2) Дана система уравнений:$$\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\x + 5y = 3 \end{cases}$$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3 - 5y$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{4}{3 - 5y} + \frac{3}{y} = 1$
Приведем левую часть к общему знаменателю $y(3 - 5y)$:
$\frac{4y + 3(3 - 5y)}{y(3 - 5y)} = 1$
$\frac{4y + 9 - 15y}{3y - 5y^2} = 1$
$\frac{9 - 11y}{3y - 5y^2} = 1$
Умножим обе части на знаменатель $3y - 5y^2$:
$9 - 11y = 3y - 5y^2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$5y^2 - 11y - 3y + 9 = 0$
$5y^2 - 14y + 9 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16$
$\sqrt{D} = 4$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 - 5(1) = 3 - 5 = -2$.
2. Если $y_2 = \frac{9}{5}$, то $x_2 = 3 - 5(\frac{9}{5}) = 3 - 9 = -6$.
Получили две пары решений: $(-2; 1)$ и $(-6; \frac{9}{5})$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(-2; 1), (-6; \frac{9}{5})$.

461. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}, \\ 3x + y = 8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ x - y = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Из второго уравнения системы выразим $x$: $x = y + 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $\frac{1}{y+1} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $y(y+1)$: $\frac{y + (y+1)}{y(y+1)} = \frac{3}{2}$,
$\frac{2y+1}{y^2+y} = \frac{3}{2}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $2(2y+1) = 3(y^2+y)$.
Раскроем скобки: $4y+2 = 3y^2+3y$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3y^2 + 3y - 4y - 2 = 0$,
$3y^2 - y - 2 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \ne 0$).
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = y + 1$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.
Если $y_2 = -\frac{2}{3}$, то $x_2 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
Таким образом, система имеет два решения: $(2; 1)$ и $(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3})$.
Ответ: $(2; 1)$, $(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3})$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ 3x + y = 8 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Из второго уравнения системы выразим $y$: $y = 8 - 3x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $\frac{1}{x} - \frac{1}{8-3x} = \frac{4}{5}$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(8-3x)$: $\frac{(8-3x) - x}{x(8-3x)} = \frac{4}{5}$,
$\frac{8-4x}{8x-3x^2} = \frac{4}{5}$.
Используя свойство пропорции, получаем: $5(8-4x) = 4(8x-3x^2)$.
Раскроем скобки: $40 - 20x = 32x - 12x^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $12x^2 - 20x - 32x + 40 = 0$,
$12x^2 - 52x + 40 = 0$.
Для упрощения разделим все уравнение на 4: $3x^2 - 13x + 10 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13+7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13-7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 8 - 3x$:
Если $x_1 = \frac{10}{3}$, то $y_1 = 8 - 3 \cdot \frac{10}{3} = 8 - 10 = -2$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5$.
Полученные значения $y$ не равны нулю, значит удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, система имеет два решения: $(\frac{10}{3}; -2)$ и $(1; 5)$.
Ответ: $(\frac{10}{3}; -2)$, $(1; 5)$.

462. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y - xy = 1, \\ xy(x + y) = 20; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{21}{10}, \\ x + y = 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{6y}{x} = 5, \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} \frac{y}{x} + xy = -10, \\ \frac{5y}{x} - 2xy = 13; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 6, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 3(x + y)^2 + 2(x - 2y)^2 = 5, \\ 2(x - 2y) - x - y = 1. \end{cases} $

1) $ \begin{cases} x + y - xy = 1, \\ xy(x + y) = 20; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = xy$. Система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = 1, \\ ab = 20; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b+1$. Подставим во второе уравнение:

$(b+1)b = 20$

$b^2 + b - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = 4$ и $b_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = 4$.

Тогда $a = 4 + 1 = 5$. Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4; \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Случай 2: $b = -5$.

Тогда $a = -5 + 1 = -4$. Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = -5; \end{cases} $

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Следовательно, получаем еще две пары решений: $(1, -5)$ и $(-5, 1)$.

Ответ: $(1, 4)$, $(4, 1)$, $(1, -5)$, $(-5, 1)$.

2) $ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{21}{10}, \\ x + y = 3; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Приведем левую часть первого уравнения к общему знаменателю:

$\frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{21}{10}$

$\frac{(y - x)(y + x)}{xy} = \frac{21}{10}$

Из второго уравнения системы известно, что $x+y=3$. Подставим это значение в первое уравнение:

$\frac{(y - x) \cdot 3}{xy} = \frac{21}{10}$

$\frac{y - x}{xy} = \frac{7}{10}$

Также из второго уравнения $y = 3-x$. Подставим это в полученное уравнение:

$\frac{(3-x) - x}{x(3-x)} = \frac{7}{10}$

$\frac{3 - 2x}{3x - x^2} = \frac{7}{10}$

$10(3 - 2x) = 7(3x - x^2)$

$30 - 20x = 21x - 7x^2$

$7x^2 - 41x + 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-41)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 1681 - 840 = 841 = 29^2$.

$x_1 = \frac{41 - 29}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

$x_2 = \frac{41 + 29}{14} = \frac{70}{14} = 5$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{6}{7}$, то $y_1 = 3 - \frac{6}{7} = \frac{21-6}{7} = \frac{15}{7}$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $(\frac{6}{7}, \frac{15}{7})$, $(5, -2)$.

3) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{6y}{x} = 5, \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18; \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Введем замену в первом уравнении: $t = \frac{x}{y}$.

$t + \frac{6}{t} = 5$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим во второе уравнение системы:

$(2y)^2 + 4(2y)y - 3y^2 = 18$

$4y^2 + 8y^2 - 3y^2 = 18$

$9y^2 = 18 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y_1 = \sqrt{2}$, то $x_1 = 2\sqrt{2}$.

Если $y_2 = -\sqrt{2}$, то $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Получаем решения: $(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.

Подставим во второе уравнение системы:

$(3y)^2 + 4(3y)y - 3y^2 = 18$

$9y^2 + 12y^2 - 3y^2 = 18$

$18y^2 = 18 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 3$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -3$.

Получаем решения: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(3, 1)$, $(-3, -1)$.

4) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$

$\frac{2}{x} = \frac{6}{6} = 1 \implies x = 2$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6}$

$\frac{2}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies y = 3$.

Ответ: $(2, 3)$.

5) $ \begin{cases} \frac{y}{x} + xy = -10, \\ \frac{5y}{x} - 2xy = 13; \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$. Введем замену: $a = \frac{y}{x}$ и $b = xy$.

$ \begin{cases} a + b = -10, \\ 5a - 2b = 13; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:

$2(a+b) + (5a-2b) = 2(-10) + 13$

$2a + 2b + 5a - 2b = -20 + 13$

$7a = -7 \implies a = -1$.

Подставим $a=-1$ в первое уравнение: $-1 + b = -10 \implies b = -9$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} \frac{y}{x} = -1, \\ xy = -9; \end{cases} $

Из первого уравнения $y = -x$. Подставим во второе:

$x(-x) = -9 \implies -x^2 = -9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -3$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = 3$.

Ответ: $(3, -3)$, $(-3, 3)$.

6) $ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 6, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

В первом уравнении введем замену $t = xy$:

$t^2 + t - 6 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$, $t_2 = -3$.

Получаем две системы:

Случай 1: $ \begin{cases} xy = 2, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 2x-3$. Подставим в первое:

$x(2x-3) = 2 \implies 2x^2 - 3x - 2 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$, тогда $y_1 = 2(-\frac{1}{2}) - 3 = -1 - 3 = -4$.

$x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$, тогда $y_2 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

Случай 2: $ \begin{cases} xy = -3, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 2x-3$. Подставим в первое:

$x(2x-3) = -3 \implies 2x^2 - 3x + 3 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, -4)$, $(2, 1)$.

7) $ \begin{cases} 3(x + y)^2 + 2(x - 2y)^2 = 5, \\ 2(x - 2y) - x - y = 1; \end{cases} $

Введем замену: $a = x+y$ и $b = x-2y$. Второе уравнение можно переписать как $2b - a = 1$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3a^2 + 2b^2 = 5, \\ 2b - a = 1; \end{cases} $

Из второго уравнения $a = 2b-1$. Подставим в первое:

$3(2b-1)^2 + 2b^2 = 5$

$3(4b^2 - 4b + 1) + 2b^2 = 5$

$12b^2 - 12b + 3 + 2b^2 - 5 = 0$

$14b^2 - 12b - 2 = 0 \implies 7b^2 - 6b - 1 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

$b_1 = \frac{6-8}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$

$b_2 = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Найдем соответствующие значения $a$:

Если $b_1 = -\frac{1}{7}$, то $a_1 = 2(-\frac{1}{7}) - 1 = -\frac{2}{7} - 1 = -\frac{9}{7}$.

Если $b_2 = 1$, то $a_2 = 2(1) - 1 = 1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = -\frac{9}{7}$, $b = -\frac{1}{7}$.

$ \begin{cases} x+y = -\frac{9}{7}, \\ x-2y = -\frac{1}{7}; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $3y = -\frac{9}{7} - (-\frac{1}{7}) = -\frac{8}{7} \implies y = -\frac{8}{21}$.

$x = -\frac{9}{7} - y = -\frac{9}{7} - (-\frac{8}{21}) = -\frac{27}{21} + \frac{8}{21} = -\frac{19}{21}$.

Решение: $(-\frac{19}{21}, -\frac{8}{21})$.

Случай 2: $a = 1$, $b = 1$.

$ \begin{cases} x+y = 1, \\ x-2y = 1; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $3y = 0 \implies y = 0$.

$x = 1 - y = 1 - 0 = 1$.

Решение: $(1, 0)$.

Ответ: $(-\frac{19}{21}, -\frac{8}{21})$, $(1, 0)$.

463. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2,5, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2y} = \frac{15}{4}, \\ 4x + 5y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4, \\ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3}, \\ x^2 - y^2 = 72; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4(x - y)^2 + 7(x - y) = 15, \\ 2x + 5y = 1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} (x - y)^2 + 2x = 35 + 2y, \\ (x + y)^2 + 2y = 3 - 2x. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2,5 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} $

Обозначим в первом уравнении $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение примет вид $t + \frac{1}{t} = 2,5$. Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Решим уравнение относительно $t$:
$t + \frac{1}{t} = 2,5$ | $\cdot t$ (при $t \neq 0$)
$t^2 - 2,5t + 1 = 0$ | $\cdot 2$
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $2x - 3y = 3$.
$2(2y) - 3y = 3$
$4y - 3y = 3$
$y = 3$
Тогда $x = 2y = 2 \cdot 3 = 6$.
Первое решение: $(6; 3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 0,5 \implies x = 0,5y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $2x - 3y = 3$.
$2(0,5y) - 3y = 3$
$y - 3y = 3$
$-2y = 3$
$y = -1,5$
Тогда $x = 0,5y = 0,5 \cdot (-1,5) = -0,75$.
Второе решение: $(-0,75; -1,5)$.

Ответ: $(6; 3)$, $(-0,75; -1,5)$.

2) $ \begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2y} = \frac{15}{4} \\ 4x + 5y = 3 \end{cases} $

Обозначим в первом уравнении $t = \frac{x - 2y}{x + y}$. Тогда уравнение примет вид $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$. ОДЗ: $x+y \neq 0, x-2y \neq 0$.

Решим уравнение относительно $t$:
$t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$ | $\cdot 4t$ (при $t \neq 0$)
$4t^2 - 4 = 15t$
$4t^2 - 15t - 4 = 0$
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{15 - 17}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$

Получаем два случая:

Случай 1: $\frac{x - 2y}{x + y} = 4$.
$x - 2y = 4(x + y)$
$x - 2y = 4x + 4y$
$3x + 6y = 0 \implies x = -2y$.
Подставим в второе уравнение $4x + 5y = 3$:
$4(-2y) + 5y = 3$
$-8y + 5y = 3$
$-3y = 3 \implies y = -1$.
Тогда $x = -2(-1) = 2$.
Решение: $(2; -1)$.

Случай 2: $\frac{x - 2y}{x + y} = -\frac{1}{4}$.
$4(x - 2y) = -(x + y)$
$4x - 8y = -x - y$
$5x = 7y \implies x = \frac{7}{5}y$.
Подставим в второе уравнение $4x + 5y = 3$:
$4(\frac{7}{5}y) + 5y = 3$
$\frac{28}{5}y + \frac{25}{5}y = 3$
$\frac{53}{5}y = 3 \implies y = \frac{15}{53}$.
Тогда $x = \frac{7}{5} \cdot \frac{15}{53} = \frac{21}{53}$.
Решение: $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$.

Ответ: $(2; -1)$, $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$.

3) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 \\ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 \end{cases} $

Введем новые переменные: $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} u + 4v = 4 \\ v - 2u = 10 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 10 + 2u$.
Подставим в первое уравнение:
$u + 4(10 + 2u) = 4$
$u + 40 + 8u = 4$
$9u = -36$
$u = -4$
Найдем $v$:
$v = 10 + 2(-4) = 10 - 8 = 2$.

Теперь вернемся к исходным переменным:
$u = \frac{1}{x} \implies -4 = \frac{1}{x} \implies x = -\frac{1}{4}$.
$v = \frac{1}{y} \implies 2 = \frac{1}{y} \implies y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$.

4) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ x^2 - y^2 = 72 \end{cases} $

В первом уравнении сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.
$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ | $\cdot 3t$ (при $t \neq 0$)
$3t^2 + 3 = 10t$
$3t^2 - 10t + 3 = 0$
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Получаем два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y$.
Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 = 72$:
$(3y)^2 - y^2 = 72$
$9y^2 - y^2 = 72$
$8y^2 = 72$
$y^2 = 9 \implies y_1 = 3, y_2 = -3$.
Если $y=3$, то $x=3 \cdot 3 = 9$. Решение: $(9; 3)$.
Если $y=-3$, то $x=3 \cdot (-3) = -9$. Решение: $(-9; -3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$.
Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 = 72$:
$x^2 - (3x)^2 = 72$
$x^2 - 9x^2 = 72$
$-8x^2 = 72$
$x^2 = -9$. Нет действительных решений.

Ответ: $(9; 3)$, $(-9; -3)$.

5) $ \begin{cases} 4(x - y)^2 + 7(x - y) = 15 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $

В первом уравнении сделаем замену $t = x - y$.
$4t^2 + 7t - 15 = 0$
$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 49 + 240 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{-7 - 17}{8} = \frac{-24}{8} = -3$
$t_2 = \frac{-7 + 17}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x - y = -3 \implies x = y - 3$.
Подставим во второе уравнение $2x + 5y = 1$:
$2(y - 3) + 5y = 1$
$2y - 6 + 5y = 1$
$7y = 7 \implies y = 1$.
Тогда $x = 1 - 3 = -2$.
Решение: $(-2; 1)$.

Случай 2: $x - y = \frac{5}{4} \implies x = y + \frac{5}{4}$.
Подставим во второе уравнение $2x + 5y = 1$:
$2(y + \frac{5}{4}) + 5y = 1$
$2y + \frac{5}{2} + 5y = 1$
$7y = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \implies y = -\frac{3}{14}$.
Тогда $x = -\frac{3}{14} + \frac{5}{4} = \frac{-6 + 35}{28} = \frac{29}{28}$.
Решение: $(\frac{29}{28}; -\frac{3}{14})$.

Ответ: $(-2; 1)$, $(\frac{29}{28}; -\frac{3}{14})$.

6) $ \begin{cases} (x - y)^2 + 2x = 35 + 2y \\ (x + y)^2 + 2y = 3 - 2x \end{cases} $

Преобразуем уравнения системы:
Первое уравнение: $(x - y)^2 + 2x - 2y = 35 \implies (x - y)^2 + 2(x - y) = 35$.
Второе уравнение: $(x + y)^2 + 2y + 2x = 3 \implies (x + y)^2 + 2(x + y) = 3$.

Введем новые переменные: $u = x - y$ и $v = x + y$.
Система примет вид: $ \begin{cases} u^2 + 2u - 35 = 0 \\ v^2 + 2v - 3 = 0 \end{cases} $

Решим первое квадратное уравнение относительно $u$:
$u^2 + 2u - 35 = 0$. По теореме Виета, $u_1 + u_2 = -2$, $u_1 \cdot u_2 = -35$.
Корни: $u_1 = 5, u_2 = -7$.

Решим второе квадратное уравнение относительно $v$:
$v^2 + 2v - 3 = 0$. По теореме Виета, $v_1 + v_2 = -2$, $v_1 \cdot v_2 = -3$.
Корни: $v_1 = 1, v_2 = -3$.

Получаем 4 комбинации для $u$ и $v$, и для каждой решим систему: $ \begin{cases} x - y = u \\ x + y = v \end{cases} $ Сложив уравнения, получим $2x = u + v \implies x = \frac{u+v}{2}$.
Вычтя первое из второго, получим $2y = v - u \implies y = \frac{v-u}{2}$.

Случай 1: $u = 5, v = 1$.
$x = \frac{5+1}{2} = 3$
$y = \frac{1-5}{2} = -2$
Решение: $(3; -2)$.

Случай 2: $u = 5, v = -3$.
$x = \frac{5-3}{2} = 1$
$y = \frac{-3-5}{2} = -4$
Решение: $(1; -4)$.

Случай 3: $u = -7, v = 1$.
$x = \frac{-7+1}{2} = -3$
$y = \frac{1-(-7)}{2} = 4$
Решение: $(-3; 4)$.

Случай 4: $u = -7, v = -3$.
$x = \frac{-7-3}{2} = -5$
$y = \frac{-3-(-7)}{2} = 2$
Решение: $(-5; 2)$.

Ответ: $(3; -2)$, $(1; -4)$, $(-3; 4)$, $(-5; 2)$.