Номер 459, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

459. Докажите, что:

1) прямая $y = -2x - 4$ и парабола $y = 6x^2 - 7x - 2$ не пересекаются;

2) парабола $y = 4x^2 - 3x + 6$ и прямая $y = x + 5$ имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;

3) параболы $y = 4x^2 - 3x - 24$ и $y = 2x^2 - 5x$ имеют две общие точки, найдите их координаты.

1) прямая $y = -2x - 4$ и парабола $y = 6x^2 - 7x - 2$ не пересекаются;

Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$: $$-2x - 4 = 6x^2 - 7x - 2$$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$: $$6x^2 - 7x + 2x - 2 + 4 = 0$$ $$6x^2 - 5x + 2 = 0$$

Количество точек пересечения определяется количеством действительных корней этого квадратного уравнения. Найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=6, b=-5, c=2$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 25 - 48 = -23$$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у графиков функций нет общих точек, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что графики не пересекаются.

2) парабола $y = 4x^2 - 3x + 6$ и прямая $y = x + 5$ имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;

Чтобы найти общую точку, приравняем выражения для $y$: $$4x^2 - 3x + 6 = x + 5$$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $$4x^2 - 3x - x + 6 - 5 = 0$$ $$4x^2 - 4x + 1 = 0$$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4, b=-4, c=1$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$$ Так как $D=0$, уравнение имеет ровно один корень, а значит, графики имеют одну общую точку.

Найдем абсциссу этой точки. Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x - 1)^2 = 0$. Отсюда $2x - 1 = 0$, следовательно, $x = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем ординату точки, подставив значение $x$ в уравнение прямой (это проще): $$y = x + 5 = \frac{1}{2} + 5 = 5.5$$

Таким образом, координаты общей точки $(\frac{1}{2}, 5.5)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 5.5)$ или $(0.5, 5.5)$.

3) параболы $y = 4x^2 - 3x - 24$ и $y = 2x^2 - 5x$ имеют две общие точки, найдите их координаты.

Для нахождения общих точек приравняем правые части уравнений парабол: $$4x^2 - 3x - 24 = 2x^2 - 5x$$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые: $$4x^2 - 2x^2 - 3x + 5x - 24 = 0$$ $$2x^2 + 2x - 24 = 0$$

Для упрощения разделим все уравнение на 2: $$x^2 + x - 12 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-1$. Этим условиям удовлетворяют числа $-4$ и $3$. $$x_1 = -4, \quad x_2 = 3$$ Поскольку мы получили два различных действительных корня, параболы имеют две общие точки.

Найдем соответствующие ординаты (y) для каждого значения $x$, подставив их в одно из исходных уравнений, например, в $y = 2x^2 - 5x$:

Для $x_1 = -4$: $$y_1 = 2(-4)^2 - 5(-4) = 2(16) + 20 = 32 + 20 = 52$$ Первая точка пересечения: $(-4, 52)$.

Для $x_2 = 3$: $$y_2 = 2(3)^2 - 5(3) = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$$ Вторая точка пересечения: $(3, 3)$.

Ответ: $(-4, 52)$ и $(3, 3)$.