Номер 452, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

452. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y^2 - x = 14, \\ x - y = -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - 2x^2 = 2, \\ 3x + y = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 8, \\ x + y = 6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 28 \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 3 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(3 + y) \cdot y = 28$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3y + y^2 = 28$

$y^2 + 3y - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-28$, а их сумма равна $-3$. Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 3 + 4 = 7$.

Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 3 + (-7) = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(7, 4)$, $(-4, -7)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - x = 14, \\ x - y = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = y - 2$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$y^2 - (y - 2) = 14$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$y^2 - y + 2 = 14$

$y^2 - y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно $-12$, а сумма равна $1$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 - 2 = 2$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 - 2 = -5$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(2, 4)$, $(-5, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - 2x^2 = 2, \\ 3x + y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$:

$y = 1 - 3x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(1 - 3x) - 2x^2 = 2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-2x^2 - 3x + 1 - 2 = 0$

$-2x^2 - 3x - 1 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -0.5$, то $y_1 = 1 - 3(-0.5) = 1 + 1.5 = 2.5$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-0.5, 2.5)$, $(-1, 4)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 8, \\ x + y = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(6 - y)^2 - 2y^2 = 8$

Раскроем скобки и упростим:

$(36 - 12y + y^2) - 2y^2 = 8$

$36 - 12y - y^2 = 8$

$-y^2 - 12y + 36 - 8 = 0$

$-y^2 - 12y + 28 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$y^2 + 12y - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 16}{2}$

$y_1 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 6 - 2 = 4$.

Если $y_2 = -14$, то $x_2 = 6 - (-14) = 6 + 14 = 20$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(4, 2)$, $(20, -14)$.