Номер 1, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие методы решения систем уравнений вы знаете?

Существует несколько основных методов решения систем уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнений в системе (линейные, нелинейные) и их сложности.

1. Метод подстановки

Этот метод заключается в том, что из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной, которое решают, а затем находят значение второй переменной.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

1. Из первого уравнения выразим y: $y = 7 - 2x$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение: $3x - 2(7 - 2x) = 0$.

3. Решим полученное уравнение с одной переменной x:

$3x - 14 + 4x = 0$

$7x = 14$

$x = 2$

4. Найдем соответствующее значение y, подставив $x=2$ в выражение для y:

$y = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$.

Ответ: $(2; 3)$.

2. Метод алгебраического сложения

Цель этого метода — исключить одну из переменных путем сложения или вычитания уравнений системы. Для этого уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

Пример:

Решим ту же систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными (2 и -2):

$(2x + y = 7) \cdot 2 \implies 4x + 2y = 14$.

2. Сложим почленно полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(4x + 2y) + (3x - 2y) = 14 + 0$

$7x = 14$

$x = 2$

3. Подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$2 \cdot 2 + y = 7$

$4 + y = 7$

$y = 3$

Ответ: $(2; 3)$.

3. Графический метод

Этот метод состоит в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Координаты точки (или точек) пересечения графиков являются решением системы. Метод нагляден, но часто дает лишь приблизительное решение.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases} $

1. Строим график первого уравнения $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки (0, 1) и (1, 2).

2. Строим график второго уравнения $y = -2x + 4$. Это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (2, 0).

3. Находим точку пересечения графиков. Визуально определяем, что прямые пересекаются в точке с координатами $(1; 2)$.

Проверка подстановкой подтверждает, что $2 = 1 + 1$ и $2 = -2 \cdot 1 + 4$.

Ответ: $(1; 2)$.

4. Метод введения новых переменных (метод замены)

Используется для упрощения сложных, часто нелинейных, систем уравнений. Если в системе многократно встречаются одинаковые выражения, их заменяют новыми переменными.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 2 \end{cases} $

1. Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{2}{y}$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a + 2b = 4 \\ 3a - b = 2 \end{cases} $

2. Решим эту простую линейную систему, например, методом подстановки. Из второго уравнения $b = 3a - 2$. Подставим в первое:

$a + 2(3a - 2) = 4$

$a + 6a - 4 = 4$

$7a = 8 \implies a = \frac{8}{7}$

Тогда $b = 3 \cdot \frac{8}{7} - 2 = \frac{24}{7} - \frac{14}{7} = \frac{10}{7}$.

3. Вернемся к исходным переменным:

$a = \frac{1}{x} \implies \frac{8}{7} = \frac{1}{x} \implies x = \frac{7}{8}$

$b = \frac{1}{y} \implies \frac{10}{7} = \frac{1}{y} \implies y = \frac{7}{10}$

Ответ: $(\frac{7}{8}; \frac{7}{10})$.

5. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)

Этот метод применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Систему представляют в виде матричного уравнения $AX = B$, где $A$ — матрица коэффициентов, $X$ — столбец неизвестных, $B$ — столбец свободных членов. Решение находится по формуле $X = A^{-1}B$, где $A^{-1}$ — обратная матрица.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

Матричное уравнение: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}$.

1. Найдем определитель матрицы $A$: $\det(A) = 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3 = -4 - 3 = -7$.

2. Найдем обратную матрицу $A^{-1}$: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{7} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 \\ 3/7 & -2/7 \end{pmatrix}$.

3. Найдем решение: $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 \\ 3/7 & -2/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7}\cdot7 + \frac{1}{7}\cdot0 \\ \frac{3}{7}\cdot7 - \frac{2}{7}\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Ответ: $(2; 3)$.

6. Метод Крамера

Метод также используется для решения СЛАУ и основан на вычислении определителей. Для системы с $n$ неизвестными решение для каждой переменной $x_i$ находится по формуле $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$, где $\Delta$ — главный определитель системы (определитель матрицы коэффициентов), а $\Delta_i$ — вспомогательный определитель, полученный заменой $i$-го столбца в главном определителе на столбец свободных членов.

Пример:

Решим ту же систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

1. Вычислим главный определитель системы: $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 2(-2) - 1(3) = -7$.

2. Вычислим вспомогательные определители:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 7(-2) - 1(0) = -14$.

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 2(0) - 7(3) = -21$.

3. Найдем переменные:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-14}{-7} = 2$.

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-21}{-7} = 3$.

Ответ: $(2; 3)$.