Номер 448, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

448. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 10, \\ 4x - 7y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 9y = 11, \\ 7x + 9y = 25; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2y = 1, \\ 12x + 7y = -26. \end{cases}$

1) Для решения системы $ \begin{cases} 2x + y = 10 \\ 4x - 7y = 2 \end{cases} $ воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$ y = 10 - 2x $

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$ 4x - 7(10 - 2x) = 2 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:

$ 4x - 70 + 14x = 2 $

$ 18x = 2 + 70 $

$ 18x = 72 $

$ x = \frac{72}{18} $

$ x = 4 $

Теперь найдем значение y, подставив $ x = 4 $ в полученное ранее выражение для y:

$ y = 10 - 2 \cdot 4 = 10 - 8 = 2 $

Ответ: $ (4; 2) $

2) Решим систему $ \begin{cases} 4y - x = 11 \\ 5x - 2y = 17 \end{cases} $ методом подстановки. Из первого уравнения выразим x через y:

$ -x = 11 - 4y $

$ x = 4y - 11 $

Подставим это выражение для x во второе уравнение:

$ 5(4y - 11) - 2y = 17 $

Решим полученное уравнение относительно y:

$ 20y - 55 - 2y = 17 $

$ 18y = 17 + 55 $

$ 18y = 72 $

$ y = \frac{72}{18} $

$ y = 4 $

Теперь найдем значение x, подставив $ y = 4 $ в выражение для x:

$ x = 4 \cdot 4 - 11 = 16 - 11 = 5 $

Ответ: $ (5; 4) $

3) Для решения системы $ \begin{cases} 2x - 9y = 11 \\ 7x + 9y = 25 \end{cases} $ удобно применить метод сложения, так как коэффициенты при переменной y являются противоположными числами ($-9$ и $9$). Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$ (2x - 9y) + (7x + 9y) = 11 + 25 $

$ 9x = 36 $

$ x = \frac{36}{9} $

$ x = 4 $

Подставим найденное значение $ x = 4 $ в первое уравнение системы, чтобы найти y:

$ 2 \cdot 4 - 9y = 11 $

$ 8 - 9y = 11 $

$ -9y = 11 - 8 $

$ -9y = 3 $

$ y = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} $

Ответ: $ (4; -1/3) $

4) Решим систему $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $ методом сложения. Умножим первое уравнение на $-4$, чтобы коэффициенты при x стали противоположными числами:

$ -4 \cdot (3x - 2y) = -4 \cdot 1 \implies -12x + 8y = -4 $

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} -12x + 8y = -4 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $

Сложим почленно уравнения полученной системы:

$ (-12x + 8y) + (12x + 7y) = -4 + (-26) $

$ 15y = -30 $

$ y = \frac{-30}{15} $

$ y = -2 $

Подставим найденное значение $ y = -2 $ в исходное первое уравнение, чтобы найти x:

$ 3x - 2(-2) = 1 $

$ 3x + 4 = 1 $

$ 3x = 1 - 4 $

$ 3x = -3 $

$ x = -1 $

Ответ: $ (-1; -2) $