Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

441. Первая бригада может собрать урожай за 12 дней. Второй бригаде для выполнения этой же работы требуется $75 \%$ этого времени. После того как первая бригада проработала 5 дней, к ней присоединилась вторая бригада, и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем время, необходимое второй бригаде для выполнения работы.

По условию, второй бригаде требуется 75% от времени первой бригады, которое составляет 12 дней. Переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 0.75$.

Время второй бригады = $12 \times 0.75 = 9$ дней.

2. Определим производительность каждой бригады.

Примем весь объем работы (сбор урожая) за 1 (единицу). Производительность — это часть работы, выполняемая за один день.

Производительность первой бригады ($P_1$) составляет: $P_1 = \frac{1}{12}$ работы в день.

Производительность второй бригады ($P_2$) составляет: $P_2 = \frac{1}{9}$ работы в день.

3. Вычислим, какую часть работы выполнила первая бригада за 5 дней.

Первая бригада работала одна в течение 5 дней. За это время она выполнила часть работы $A_1$:

$A_1 = P_1 \times 5 = \frac{1}{12} \times 5 = \frac{5}{12}$ всей работы.

4. Найдем оставшуюся часть работы.

После 5 дней работы первой бригады осталась невыполненной следующая часть работы $A_{ост}$:

$A_{ост} = 1 - A_1 = 1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ всей работы.

5. Определим совместную производительность двух бригад.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм}$ равна:

$P_{совм} = P_1 + P_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 36:

$P_{совм} = \frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{7}{36}$ работы в день.

6. Рассчитаем, сколько дней бригады работали вместе, чтобы закончить оставшуюся работу.

Чтобы найти время совместной работы $t_{совм}$, нужно оставшуюся часть работы разделить на совместную производительность:

$t_{совм} = \frac{A_{ост}}{P_{совм}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{7}{36}} = \frac{7}{12} \times \frac{36}{7} = \frac{36}{12} = 3$ дня.

Ответ: бригады работали вместе 3 дня.

442. Во время первой поездки на автомобиле потратили 10 % бензина, который был в баке, а во время второй – 25 % оставшегося. После этого в баке осталось на 13 л меньше бензина, чем было сначала. Сколько литров бензина было в баке до первой поездки?

Обозначим за $x$ первоначальное количество бензина в баке в литрах.

1. Расход бензина во время первой поездки.
Во время первой поездки было израсходовано $10\%$ бензина от первоначального количества. В литрах это составит: $0.1 \cdot x = 0.1x$ л. После первой поездки в баке осталось: $x - 0.1x = 0.9x$ л.

2. Расход бензина во время второй поездки.
Во время второй поездки было израсходовано $25\%$ от оставшегося количества бензина. В литрах это составит: $0.25 \cdot (0.9x) = 0.225x$ л.

3. Составление и решение уравнения.
По условию задачи, после двух поездок в баке осталось на 13 литров бензина меньше, чем было сначала. Это означает, что общее количество израсходованного бензина за две поездки равно 13 литрам. Суммарный расход бензина составляет: $0.1x + 0.225x = 0.325x$ л. Приравняем это количество к 13 литрам: $0.325x = 13$

Теперь решим это уравнение относительно $x$: $x = \frac{13}{0.325}$ Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 1000: $x = \frac{13 \cdot 1000}{0.325 \cdot 1000} = \frac{13000}{325}$ Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 25: $x = \frac{13000 \div 25}{325 \div 25} = \frac{520}{13}$ $x = 40$

Таким образом, первоначально в баке было 40 литров бензина.

Проверка:
Начальное количество: 40 л.
Расход в первой поездке: $10\%$ от 40 л = $0.1 \cdot 40 = 4$ л. Остаток после первой поездки: $40 - 4 = 36$ л.
Расход во второй поездке: $25\%$ от 36 л = $0.25 \cdot 36 = 9$ л.
Остаток после второй поездки: $36 - 9 = 27$ л.
Разница между начальным и конечным количеством: $40 - 27 = 13$ л. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: до первой поездки в баке было 40 литров бензина.

443. Является ли пара чисел (2; -3) решением уравнения:

1) $4x - 3y = 17;$

2) $x^2 + 5 = y^2;$

3) $xy = 6?$

Для того чтобы определить, является ли пара чисел $(2; -3)$ решением уравнения, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=-3$ в каждое из предложенных уравнений и проверить, обращается ли оно в верное числовое равенство.

1) $4x - 3y = 17$

Подставляем $x=2$ и $y=-3$ в левую часть уравнения:

$4 \cdot (2) - 3 \cdot (-3) = 8 - (-9) = 8 + 9 = 17$

Получаем $17 = 17$. Равенство верное.

Ответ: да, пара чисел $(2; -3)$ является решением уравнения.

2) $x^2 + 5 = y^2$

Подставляем $x=2$ и $y=-3$ в обе части уравнения.

Левая часть: $x^2 + 5 = (2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9$.

Правая часть: $y^2 = (-3)^2 = 9$.

Получаем $9 = 9$. Равенство верное.

Ответ: да, пара чисел $(2; -3)$ является решением уравнения.

3) $xy = 6$

Подставляем $x=2$ и $y=-3$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot (-3) = -6$

Получаем $-6 = 6$. Равенство неверное.

Ответ: нет, пара чисел $(2; -3)$ не является решением уравнения.

444. График уравнения $5x - y = 2$ проходит через точку $A(4; b)$. Чему равно значение $b$?

Поскольку график уравнения $5x - y = 2$ проходит через точку $A(4; b)$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Это значит, что если подставить значения координат точки $A$ в уравнение, мы получим верное равенство.

Координаты точки $A$ равны $x = 4$ и $y = b$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$5 \cdot 4 - b = 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $b$. Сначала выполним умножение:

$20 - b = 2$

Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения. Перенесем 20 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-b = 2 - 20$

$-b = -18$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти значение $b$:

$b = 18$

Ответ: 18

445. Постройте график уравнения:

1) $4x + y = 3;$

2) $2x - 3y = 6;$

3) $xy = -8;$

4) $(x - 2)^2 + y^2 = 0;$

5) $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9;$

6) $x^2 + y^2 = 4;$

7) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10 = 0;$

8) $(x - 3)(y - x) = 0;$

9) $\frac{y - x}{y^2 - 1} = 0.$

1) $4x + y = 3$

Это линейное уравнение, его график — прямая линия. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:

$y = -4x + 3$

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
Если $x = 0$, то $y = -4 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
Если $x = 1$, то $y = -4 \cdot 1 + 3 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.
График — это прямая, проходящая через эти две точки.

Ответ: Прямая линия $y = -4x + 3$, проходящая, например, через точки $(0; 3)$ и $(1; -1)$.

2) $2x - 3y = 6$

Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = 6 - 2x$

$3y = 2x - 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Найдём две точки для построения графика.
Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
Если $y = 0$, то $0 = \frac{2}{3}x - 2$, откуда $\frac{2}{3}x = 2$, $x=3$. Получаем точку $(3; 0)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(3; 0)$.

Ответ: Прямая линия $y = \frac{2}{3}x - 2$, проходящая, например, через точки $(0; -2)$ и $(3; 0)$.

3) $xy = -8$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -\frac{8}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности, его график — гипербола. Так как коэффициент $-8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Ответ: Гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

4) $(x - 2)^2 + y^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений ($(x-2)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из выражений равно нулю.

$\begin{cases} (x - 2)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$

Уравнению удовлетворяет только одна точка с координатами $(2; 0)$.

Ответ: Точка $(2; 0)$.

5) $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В данном случае, $a = 2$, $b = -1$, и $R^2 = 9$, следовательно, $R = 3$.
Графиком является окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $3$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $3$.

6) $x^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 4$.

Следовательно, $R = 2$.
Графиком является окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом $2$.

7) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 10 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 10 + 10 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю.

$\begin{cases} (x + 1)^2 = 0 \\ (y - 3)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$

Уравнению удовлетворяет только одна точка с координатами $(-1; 3)$.

Ответ: Точка $(-1; 3)$.

8) $(x - 3)(y - x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение распадается на два:

$x - 3 = 0$ или $y - x = 0$

То есть, $x = 3$ или $y = x$.
Графиком первого уравнения $x = 3$ является вертикальная прямая, проходящая через точку $(3; 0)$.
Графиком второго уравнения $y = x$ является прямая, проходящая через начало координат под углом 45° к оси Ox (биссектриса I и III координатных углов).
График исходного уравнения — это объединение этих двух прямых.

Ответ: Две пересекающиеся прямые $x = 3$ и $y = x$.

9) $\frac{y - x}{y^2 - 1} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} y - x = 0 \\ y^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = x$. Это прямая.
Из второго условия получаем $y^2 \neq 1$, то есть $y \neq 1$ и $y \neq -1$.
Так как $y = x$, то из этого следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Таким образом, из прямой $y = x$ нужно исключить точки, у которых ординаты (и абсциссы) равны $1$ и $-1$. Это точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
Графиком является прямая $y=x$ с двумя "выколотыми" точками.

Ответ: Прямая $y = x$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

446. Какая из пар чисел $(-2; 1)$, $(2; -1)$, $(6; 4)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases}3x - 8y = -14, \\4x + y = 28?\end{cases}$

Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, необходимо последовательно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения системы. Если для какой-либо пары оба уравнения обращаются в верные числовые равенства, то эта пара и является решением.

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 8y = -14 \\ 4x + y = 28 \end{cases} $$

Проверим каждую пару чисел.

(-2; 1)

Подставляем $x = -2$ и $y = 1$ в оба уравнения:

1. В первое уравнение: $3 \cdot (-2) - 8 \cdot 1 = -6 - 8 = -14$.
Получаем $-14 = -14$. Равенство верное.

2. Во второе уравнение: $4 \cdot (-2) + 1 = -8 + 1 = -7$.
Получаем $-7 = 28$. Равенство неверное.

Так как второе уравнение не выполняется, пара чисел $(-2; 1)$ не является решением системы.

Ответ: не является решением.

(2; -1)

Подставляем $x = 2$ и $y = -1$ в оба уравнения:

1. В первое уравнение: $3 \cdot 2 - 8 \cdot (-1) = 6 + 8 = 14$.
Получаем $14 = -14$. Равенство неверное.

Поскольку уже первое равенство неверное, можно не проверять второе уравнение. Пара чисел $(2; -1)$ не является решением системы.

Ответ: не является решением.

(6; 4)

Подставляем $x = 6$ и $y = 4$ в оба уравнения:

1. В первое уравнение: $3 \cdot 6 - 8 \cdot 4 = 18 - 32 = -14$.
Получаем $-14 = -14$. Равенство верное.

2. Во второе уравнение: $4 \cdot 6 + 4 = 24 + 4 = 28$.
Получаем $28 = 28$. Равенство верное.

Так как оба равенства верные, пара чисел $(6; 4)$ является решением системы уравнений.

Ответ: является решением.

447. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2. \end{cases} $$ Для того чтобы решить систему графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Решением системы будет точка пересечения этих прямых.

Сначала приведем оба уравнения к виду функции $y = kx + b$.

Первое уравнение: $x - 2y = 1$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 1 - x$
$2y = x - 1$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ (или $y = 0.5x - 0.5$).

Для построения этой прямой найдем координаты двух точек, подставляя значения $x$:
- При $x = 1$, $y = 0.5 \cdot 1 - 0.5 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = 0.5 \cdot 3 - 0.5 = 1.5 - 0.5 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

Второе уравнение: $y - x = -2$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = x - 2$.

Для построения этой прямой также найдем координаты двух точек:
- При $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
- При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(2, 0)$.

Теперь построим графики этих двух прямых на одной координатной плоскости. Первая прямая $y = 0.5x - 0.5$ проходит через точки $(1, 0)$ и $(3, 1)$. Вторая прямая $y = x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

Точка пересечения графиков является решением системы. Построив графики, мы находим, что прямые пересекаются в точке с координатами $(3, 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=3$ и $y=1$ в исходную систему: $$ \begin{cases} 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1, \\ 1 - 3 = -2. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 1 = 1, \\ -2 = -2. \end{cases} $$ Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 1)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5. \end{cases} $$

Решим эту систему графическим методом. Для этого построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $x + y = -5$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 5$.

Найдем две точки для построения этой прямой:
- При $x = 0$, $y = -0 - 5 = -5$. Получаем точку $(0, -5)$.
- При $x = -5$, $y = -(-5) - 5 = 5 - 5 = 0$. Получаем точку $(-5, 0)$.

Второе уравнение: $4x - y = -5$.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -4x - 5$
$y = 4x + 5$.

Найдем две точки для построения этой прямой:
- При $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
- При $x = -2$, $y = 4(-2) + 5 = -8 + 5 = -3$. Получаем точку $(-2, -3)$.

Построим графики функций $y = -x - 5$ и $y = 4x + 5$ на одной координатной плоскости. Первая прямая проходит через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$. Вторая прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(-2, -3)$.

Координаты точки пересечения этих прямых будут решением системы. Из построения видно, что прямые пересекаются в точке $(-2, -3)$.

Проверим найденное решение, подставив $x=-2$ и $y=-3$ в исходные уравнения: $$ \begin{cases} (-2) + (-3) = -5, \\ 4(-2) - (-3) = -8 + 3 = -5. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -5 = -5, \\ -5 = -5. \end{cases} $$ Оба равенства верны. Решение найдено правильно.

Ответ: $(-2, -3)$.

448. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 10, \\ 4x - 7y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 9y = 11, \\ 7x + 9y = 25; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2y = 1, \\ 12x + 7y = -26. \end{cases}$

1) Для решения системы $ \begin{cases} 2x + y = 10 \\ 4x - 7y = 2 \end{cases} $ воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$ y = 10 - 2x $

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$ 4x - 7(10 - 2x) = 2 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:

$ 4x - 70 + 14x = 2 $

$ 18x = 2 + 70 $

$ 18x = 72 $

$ x = \frac{72}{18} $

$ x = 4 $

Теперь найдем значение y, подставив $ x = 4 $ в полученное ранее выражение для y:

$ y = 10 - 2 \cdot 4 = 10 - 8 = 2 $

Ответ: $ (4; 2) $

2) Решим систему $ \begin{cases} 4y - x = 11 \\ 5x - 2y = 17 \end{cases} $ методом подстановки. Из первого уравнения выразим x через y:

$ -x = 11 - 4y $

$ x = 4y - 11 $

Подставим это выражение для x во второе уравнение:

$ 5(4y - 11) - 2y = 17 $

Решим полученное уравнение относительно y:

$ 20y - 55 - 2y = 17 $

$ 18y = 17 + 55 $

$ 18y = 72 $

$ y = \frac{72}{18} $

$ y = 4 $

Теперь найдем значение x, подставив $ y = 4 $ в выражение для x:

$ x = 4 \cdot 4 - 11 = 16 - 11 = 5 $

Ответ: $ (5; 4) $

3) Для решения системы $ \begin{cases} 2x - 9y = 11 \\ 7x + 9y = 25 \end{cases} $ удобно применить метод сложения, так как коэффициенты при переменной y являются противоположными числами ($-9$ и $9$). Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$ (2x - 9y) + (7x + 9y) = 11 + 25 $

$ 9x = 36 $

$ x = \frac{36}{9} $

$ x = 4 $

Подставим найденное значение $ x = 4 $ в первое уравнение системы, чтобы найти y:

$ 2 \cdot 4 - 9y = 11 $

$ 8 - 9y = 11 $

$ -9y = 11 - 8 $

$ -9y = 3 $

$ y = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} $

Ответ: $ (4; -1/3) $

4) Решим систему $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $ методом сложения. Умножим первое уравнение на $-4$, чтобы коэффициенты при x стали противоположными числами:

$ -4 \cdot (3x - 2y) = -4 \cdot 1 \implies -12x + 8y = -4 $

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} -12x + 8y = -4 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $

Сложим почленно уравнения полученной системы:

$ (-12x + 8y) + (12x + 7y) = -4 + (-26) $

$ 15y = -30 $

$ y = \frac{-30}{15} $

$ y = -2 $

Подставим найденное значение $ y = -2 $ в исходное первое уравнение, чтобы найти x:

$ 3x - 2(-2) = 1 $

$ 3x + 4 = 1 $

$ 3x = 1 - 4 $

$ 3x = -3 $

$ x = -1 $

Ответ: $ (-1; -2) $