Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 77

400. На рисунке 77 изображён график функции $y = x^2 + 4x - 5$. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 + 4x - 5 < 0$;

2) $x^2 + 4x - 5 \le 0$;

3) $x^2 + 4x - 5 > 0$;

4) $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Для решения данных неравенств воспользуемся графиком функции $y = x^2 + 4x - 5$, который представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Решение каждого неравенства сводится к нахождению таких значений $x$, при которых ордината $y$ удовлетворяет заданному условию.

В первую очередь определим нули функции, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс (ось Ox). Из рисунка 77 видно, что это точки $x = -5$ и $x = 1$. Эти точки разделяют ось Ox на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$ и $(1; +\infty)$.

1) $x^2 + 4x - 5 < 0$;

Неравенство $y < 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен ниже оси Ox. Согласно графику, это происходит на интервале между корнями. Так как неравенство строгое, сами точки $x = -5$ и $x = 1$ в решение не входят.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.

2) $x^2 + 4x - 5 \le 0$;

Неравенство $y \le 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен ниже или на оси Ox. Это соответствует промежутку между корнями, включая сами корни. Так как неравенство нестрогое, точки $x = -5$ и $x = 1$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [-5; 1]$.

3) $x^2 + 4x - 5 > 0$;

Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен выше оси Ox. Согласно графику, это происходит левее корня $x = -5$ и правее корня $x = 1$. Так как неравенство строгое, сами точки $x = -5$ и $x = 1$ в решение не входят.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

4) $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Неравенство $y \ge 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен выше или на оси Ox. Это соответствует промежуткам левее корня $x = -5$ и правее корня $x = 1$, включая сами корни. Так как неравенство нестрогое, точки $x = -5$ и $x = 1$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.

401. На рисунке 78 изображён график функции $y = -3x^2 - 6x$. Найдите множество решений неравенства:

1) $-3x^2 - 6x < 0;$

2) $-3x^2 - 6x \leq 0;$

3) $-3x^2 - 6x > 0;$

4) $-3x^2 - 6x \geq 0.$

Рис. 78

Для решения неравенств используется график функции $y = -3x^2 - 6x$. Сначала определим точки пересечения графика с осью абсцисс ($x$), решив уравнение $y=0$.

$-3x^2 - 6x = 0$

$-3x(x + 2) = 0$

Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Эти точки видны на графике как точки пересечения параболы с осью $x$.

1) Решить неравенство $-3x^2 - 6x < 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции $y = -3x^2 - 6x$ находится ниже оси абсцисс (то есть $y < 0$). По графику видно, что ветви параболы уходят вниз слева от точки $x = -2$ и справа от точки $x = 0$. Так как неравенство строгое, сами точки $x=-2$ и $x=0$ в решение не входят.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

2) Решить неравенство $-3x^2 - 6x \le 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции находится ниже или на оси абсцисс ($y \le 0$). Это те же промежутки, что и в пункте 1, но с включением точек, где $y=0$, то есть $x=-2$ и $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

3) Решить неравенство $-3x^2 - 6x > 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции находится выше оси абсцисс ($y > 0$). На графике видно, что это происходит на интервале между точками пересечения с осью $x$, то есть между $-2$ и $0$. Так как неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Ответ: $x \in (-2; 0)$.

4) Решить неравенство $-3x^2 - 6x \ge 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции находится выше или на оси абсцисс ($y \ge 0$). Это тот же интервал, что и в пункте 3, но с включением точек, где $y=0$, то есть $x=-2$ и $x=0$.
Ответ: $x \in [-2; 0]$.

402. На рисунке 79 изображён график функции $y = x^2 - 4x + 4$. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 4x + 4 < 0$;3) $x^2 - 4x + 4 > 0;

2) $x^2 - 4x + 4 \le 0$;4) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$.

Рис. 79

Данное неравенство соответствует поиску значений $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится строго ниже оси абсцисс ($y < 0$). На представленном графике видно, что парабола не имеет точек с отрицательной ординатой, так как её самая нижняя точка, вершина, лежит на оси $x$ (в точке $y=0$). Алгебраически, выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$. Неравенство $(x-2)^2 < 0$ не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

Необходимо найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится на оси абсцисс или ниже неё ($y \le 0$). График не имеет точек ниже оси $x$, но касается её в одной точке — вершине параболы. Из графика видно, что это происходит при $x=2$. В этой точке $y=0$. Таким образом, равенство $x^2 - 4x + 4 = 0$ выполняется, а строгое неравенство $x^2 - 4x + 4 < 0$ — нет. Алгебраически, неравенство $(x-2)^2 \le 0$ возможно только при условии $(x-2)^2 = 0$, что дает единственное решение $x=2$.

Ответ: $\{2\}$.

Нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится строго выше оси абсцисс ($y > 0$). График показывает, что парабола лежит выше оси $x$ для всех значений $x$, за исключением одной точки, где она касается оси, — вершины при $x=2$. В этой точке $y=0$, а не $y > 0$. Следовательно, решением являются все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Решением этого неравенства являются все значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится на оси абсцисс или выше неё ($y \ge 0$). Из графика видно, что вся парабола удовлетворяет этому условию, так как её минимальное значение равно нулю. Алгебраически, выражение $(x-2)^2$ как квадрат действительного числа всегда больше или равно нулю. Это верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

403. На рисунке 80 изображён график функции $y = -x^2 + 2x - 2$. Найдите множество решений неравенства:

1) $-x^2 + 2x - 2 < 0$;

2) $-x^2 + 2x - 2 \le 0$;

3) $-x^2 + 2x - 2 > 0$;

4) $-x^2 + 2x - 2 \ge 0$.

Рис. 78

Рис. 79

Рис. 80

Для решения данных неравенств воспользуемся графиком функции $y = -x^2 + 2x - 2$, который изображен на рисунке 80. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы, чтобы определить ее расположение относительно оси абсцисс. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Подставим $x_v=1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_v$:
$y_v = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Поскольку вершина параболы является ее наивысшей точкой и расположена ниже оси $Ox$ (так как $y_v = -1 < 0$), весь график функции находится в нижней полуплоскости, то есть все значения функции отрицательны при любом $x$.

1) $-x^2 + 2x - 2 < 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y < 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси $Ox$. Так как вся парабола находится ниже оси $Ox$, неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) $-x^2 + 2x - 2 \le 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y \le 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси $Ox$ или на самой оси. Поскольку вся парабола находится ниже оси $Ox$ и не пересекает ее, неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $-x^2 + 2x - 2 > 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y > 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси $Ox$. Так как весь график находится ниже оси $Ox$ (максимальное значение функции равно -1), таких значений $x$ не существует.
Ответ: решений нет ($\emptyset$).

4) $-x^2 + 2x - 2 \ge 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y \ge 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси $Ox$ или на самой оси. Так как весь график находится строго ниже оси $Ox$, таких значений $x$ не существует.
Ответ: решений нет ($\emptyset$).

404. Решите неравенство:

1) $x^2 + 6x - 7 < 0;$

2) $x^2 - 2x - 48 \geq 0;$

3) $-x^2 - 6x - 5 > 0;$

4) $-x^2 + 4x - 3 < 0;$

5) $3x^2 - 7x + 4 \leq 0;$

6) $2x^2 + 3x + 1 > 0;$

7) $4x^2 - 12x \leq 0;$

8) $4x^2 - 9 > 0;$

9) $x^2 - 12x + 36 > 0;$

10) $4x^2 - 12x + 9 \geq 0;$

11) $x^2 + 4x + 4 < 0;$

12) $49x^2 - 14x + 1 \leq 0;$

13) $2x^2 - x + 3 > 0;$

14) $3x^2 - 4x + 5 \leq 0;$

15) $-4x^2 + 5x - 7 > 0;$

16) $-2x^2 + 3x - 2 \leq 0.$

1) Для решения неравенства $x^2 + 6x - 7 < 0$ найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$. Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось абсцисс в точках -7 и 1. Неравенство выполняется, когда парабола находится ниже оси, то есть между корнями. Ответ: $x \in (-7; 1)$.

2) Решим неравенство $x^2 - 2x - 48 \geq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$. Корни: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{2 - 14}{2} = -6$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8$. Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство выполняется, когда парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит на лучах левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни. Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [8; \infty)$.

3) Решим неравенство $-x^2 - 6x - 5 > 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 6x + 5 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 - 4}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1$. Графиком функции $y = x^2 + 6x + 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 6x + 5 < 0$ выполняется между корнями. Ответ: $x \in (-5; -1)$.

4) Решим неравенство $-x^2 + 4x - 3 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 4x + 3 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями. Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

5) Решим неравенство $3x^2 - 7x + 4 \leq 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Корни: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{6} = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=3>0$). Неравенство выполняется, когда парабола находится на оси абсцисс или ниже нее, то есть между корнями, включая их. Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.

6) Решим неравенство $2x^2 + 3x + 1 > 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство выполняется вне интервала между корнями. Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{2}; \infty)$.

7) Решим неравенство $4x^2 - 12x \leq 0$. Разложим на множители: $4x(x - 3) \leq 0$. Корни уравнения $4x(x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = 4x^2 - 12x$ является парабола с ветвями вверх ($a=4>0$). Неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая их. Ответ: $x \in [0; 3]$.

8) Решим неравенство $4x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(2x - 3)(2x + 3) > 0$. Корни уравнения $(2x-3)(2x+3)=0$ равны $x_1 = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{3}{2}$. Графиком функции $y = 4x^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх ($a=4>0$). Неравенство выполняется вне интервала между корнями. Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; \infty)$.

9) Решим неравенство $x^2 - 12x + 36 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x - 6)^2 > 0$. Выражение $(x-6)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x=6$ и положительно при всех остальных значениях $x$. Так как неравенство строгое, точка $x=6$ не является решением. Ответ: $x \in (-\infty; 6) \cup (6; \infty)$.

10) Решим неравенство $4x^2 - 12x + 9 \geq 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 3)^2 \geq 0$. Выражение $(2x-3)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого действительного значения $x$. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$. Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

11) Решим неравенство $x^2 + 4x + 4 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x + 2)^2 < 0$. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Нет таких значений $x$, при которых оно было бы строго меньше нуля. Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

12) Решим неравенство $49x^2 - 14x + 1 \leq 0$. Левая часть является полным квадратом: $(7x - 1)^2 \leq 0$. Выражение $(7x-1)^2$ никогда не бывает отрицательным. Оно может быть равно нулю. Это происходит, когда $7x-1=0$, то есть $x = \frac{1}{7}$. Это единственное решение. Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

13) Решим неравенство $2x^2 - x + 3 > 0$. Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - x + 3 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = 2x^2 - x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$), которая не пересекает ось абсцисс и полностью лежит выше нее. Следовательно, выражение $2x^2 - x + 3$ всегда положительно. Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

14) Решим неравенство $3x^2 - 4x + 5 \leq 0$. Найдем дискриминант уравнения $3x^2 - 4x + 5 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$. Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$), график функции $y = 3x^2 - 4x + 5$ полностью лежит выше оси абсцисс. Значит, выражение $3x^2 - 4x + 5$ всегда положительно и никогда не бывает меньше или равно нулю. Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

15) Решим неравенство $-4x^2 + 5x - 7 > 0$. Найдем дискриминант уравнения $-4x^2 + 5x - 7 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-7) = 25 - 112 = -87$. Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз ($a=-4<0$), график функции $y = -4x^2 + 5x - 7$ полностью лежит ниже оси абсцисс. Значит, выражение $-4x^2 + 5x - 7$ всегда отрицательно и никогда не бывает больше нуля. Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

16) Решим неравенство $-2x^2 + 3x - 2 \leq 0$. Найдем дискриминант уравнения $-2x^2 + 3x - 2 = 0$. $D = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз ($a=-2<0$), график функции $y = -2x^2 + 3x - 2$ полностью лежит ниже оси абсцисс. Это означает, что выражение $-2x^2 + 3x - 2$ всегда отрицательно, а значит, всегда меньше или равно нулю. Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.