Страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно значение функции $f(x) = 2x^2 - 1$ в точке $x_0 = -3$?

А) -19

Б) -13

В) 11

Г) 17

1. Чтобы найти значение функции $f(x) = 2x^2 - 1$ в точке $x_0 = -3$, нужно подставить значение $x_0$ в выражение функции вместо $x$.

Выполним подстановку $x = -3$:

$f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - 1$

Далее вычисляем значение выражения, соблюдая порядок арифметических действий:

1. Сначала выполняем возведение в степень: $(-3)^2 = 9$.

2. Затем выполняем умножение: $2 \cdot 9 = 18$.

3. В последнюю очередь выполняем вычитание: $18 - 1 = 17$.

Таким образом, значение функции в точке $x_0 = -3$ равно 17. Этот результат соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) 17

2. Среди приведённых функций укажите квадратичную.

А) $y = 2x - 5$

В) $y = 2x^2 - 5$

Б) $y = 2\sqrt{x} - 5$

Г) $y = \frac{2}{x^2} - 5$

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа, причём коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Главным признаком квадратичной функции является наличие переменной во второй степени как наивысшей.

Проанализируем предложенные варианты:

А) В функции $y = 2x - 5$ наивысшая степень переменной $x$ равна 1. Это формула линейной функции, а не квадратичной.

Б) В функции $y = 2\sqrt{x} - 5$ переменная $x$ находится под знаком квадратного корня, что эквивалентно степени $1/2$ ($y = 2x^{1/2} - 5$). Это степенная функция, но не квадратичная.

В) Функция $y = 2x^2 - 5$ полностью соответствует определению квадратичной функции. Её можно представить в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = 0$ и $c = -5$. Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, и это наивысшая степень переменной в уравнении. Следовательно, это квадратичная функция.

Г) В функции $y = \frac{2}{x^2} - 5$ переменная $x$ находится в знаменателе, что эквивалентно отрицательной степени ($y = 2x^{-2} - 5$). Это рациональная функция, а не квадратичная.

Ответ: В

3. Областью определения какой из функций является промежуток $(-\infty; 6)$?

А) $y = \sqrt{6 + x}$

Б) $y = \frac{1}{\sqrt{6 - x}}$

В) $y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}$

Г) $y = \sqrt{6 - x}$

Чтобы определить, у какой из функций область определения является промежуток $(-\infty; 6)$, необходимо найти область определения для каждой из предложенных функций.

А) $y = \sqrt{6 + x}$

Область определения функции с квадратным корнем задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$6 + x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$x \ge -6$

Таким образом, область определения этой функции — промежуток $[-6; +\infty)$, что не соответствует заданному промежутку.

Ответ: область определения $[-6; +\infty)$.

В) $y = \frac{1}{\sqrt{6 + x}}$

Для этой функции должны выполняться два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($6 + x \ge 0$), и знаменатель дроби не должен равняться нулю ($\sqrt{6 + x} \ne 0$). Объединяя эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.

$6 + x > 0$

Решая неравенство, получаем:

$x > -6$

Таким образом, область определения — промежуток $(-6; +\infty)$, что не соответствует заданному промежутку.

Ответ: область определения $(-6; +\infty)$.

Б) $y = \frac{1}{\sqrt{6 - x}}$

Как и в предыдущем случае, выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.

$6 - x > 0$

Решая неравенство, получаем:

$6 > x$, или $x < 6$

Таким образом, область определения этой функции — промежуток $(-\infty; 6)$. Это в точности совпадает с промежутком, указанным в условии задачи. Следовательно, это и есть искомая функция.

Ответ: область определения $(-\infty; 6)$.

Г) $y = \sqrt{6 - x}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$6 - x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$6 \ge x$, или $x \le 6$

Таким образом, область определения — промежуток $(-\infty; 6]$. Этот промежуток отличается от заданного $(-\infty; 6)$ тем, что включает в себя число 6, в то время как в заданном промежутке 6 не включено (на что указывает круглая скобка).

Ответ: область определения $(-\infty; 6]$.

4. Как надо параллельно перенести график функции $y = \frac{7}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{7}{x - 5}$?

А) на 5 единиц вверх

Б) на 5 единиц влево

В) на 5 единиц вправо

Г) на 5 единиц вниз

Для того чтобы определить, как нужно параллельно перенести график одной функции для получения графика другой, необходимо знать правила преобразования графиков.

Рассмотрим общие правила для функции $y = f(x)$:

1. График функции $y = f(x-a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $a$ единиц вдоль оси абсцисс ($Ox$). Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо. Если $a < 0$, сдвиг происходит влево на $|a|$ единиц.

2. График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $b$ единиц вдоль оси ординат ($Oy$). Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх. Если $b < 0$, сдвиг происходит вниз на $|b|$ единиц.

В нашей задаче исходная функция — это $f(x) = \frac{7}{x}$.

Требуется получить график функции $y = \frac{7}{x-5}$.

Мы видим, что новая функция получена из исходной заменой аргумента $x$ на выражение $(x-5)$. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x-a)$, где $a=5$.

Поскольку $a=5$, что больше нуля ($a > 0$), то, согласно правилу, график исходной функции $y = \frac{7}{x}$ необходимо сдвинуть на 5 единиц вправо вдоль оси $Ox$.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

А) на 5 единиц вверх — это преобразование соответствует функции $y = \frac{7}{x} + 5$. Неверно.

Б) на 5 единиц влево — это преобразование соответствует функции $y = \frac{7}{x+5}$, так как $a=-5$. Неверно.

В) на 5 единиц вправо — это преобразование соответствует функции $y = \frac{7}{x-5}$, так как $a=5$. Верно.

Г) на 5 единиц вниз — это преобразование соответствует функции $y = \frac{7}{x} - 5$. Неверно.

Ответ: В) на 5 единиц вправо.

5. График функции $y = \sqrt{x}$ параллельно перенесли на 2 единицы влево и на 7 единиц вниз. График какой функции получили?

А) $y = \sqrt{x+2}-7$

Б) $y = \sqrt{x-2}-7$

В) $y = \sqrt{x-2}+7$

Г) $y = \sqrt{x+2}+7$

Для того чтобы найти уравнение функции после параллельного переноса, необходимо применить правила преобразования графиков.

Исходная функция: $y = \sqrt{x}$.

1. Перенос по горизонтали (вдоль оси Ox).
Правило гласит: чтобы сдвинуть график функции $f(x)$ на $c$ единиц влево, необходимо заменить аргумент $x$ на $x+c$.
В нашем случае сдвиг происходит на 2 единицы влево, следовательно, $c=2$.
Заменяем $x$ на $x+2$:
$y = \sqrt{x+2}$

2. Перенос по вертикали (вдоль оси Oy).
Правило гласит: чтобы сдвинуть график функции на $d$ единиц вниз, необходимо из всей функции вычесть $d$.
В нашем случае сдвиг происходит на 7 единиц вниз, следовательно, $d=7$.
Применяем это преобразование к функции, полученной на первом шаге:
$y = \sqrt{x+2} - 7$

Таким образом, итоговое уравнение функции после всех преобразований — $y = \sqrt{x+2} - 7$. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту А).

Ответ: А) $y = \sqrt{x+2} - 7$

6. На каком из рисунков изображён график функции $y = -x^2 + 2$?

А

Б

В

Г

Данная функция $y = -x^2 + 2$ является квадратичной, её график — парабола. Чтобы определить, какой из предложенных графиков соответствует этой функции, проанализируем её ключевые характеристики.

1. Направление ветвей параболы

Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае, $a = -1$, $b = 0$, $c = 2$. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Поскольку $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Из предложенных вариантов, ветви направлены вниз только у парабол на рисунках В и Г. Следовательно, рисунки А и Б не являются правильными ответами.

2. Вершина параболы

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно вычислить по формулам:

$x_0 = -b / (2a)$

Подставим наши значения $a = -1$ и $b = 0$:

$x_0 = -0 / (2 \cdot (-1)) = 0$

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = 0$ в уравнение функции:

$y_0 = -(0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 2)$.

3. Выбор правильного графика

Сравним полученные координаты вершины с графиками В и Г:

• На рисунке В вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.
• На рисунке Г вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.

Наши вычисления показывают, что вершина должна быть в точке $(0, 2)$. Этому условию, а также условию направления ветвей вниз, соответствует только график на рисунке Г.

Ответ: Г