Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. График какой функции изображён на рисунке?

А) $y = x^2 - 1$

Б) $y = x^2 + 1$

В) $y = (x - 1)^2$

Г) $y = (x + 1)^2$

Для того чтобы определить, график какой функции изображён на рисунке, проанализируем его свойства.

На рисунке мы видим параболу. Стандартный вид уравнения параболы, смещенной относительно начала координат, — это $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Это означает, что парабола $y = x^2$ была смещена на 1 единицу влево по оси $x$.
Смещение графика функции $f(x)$ на $h$ единиц по горизонтали описывается функцией $f(x-h)$:

• Смещение вправо на $h$ единиц: $y = (x - h)^2$.
• Смещение влево на $h$ единиц: $y = (x + h)^2$.

• Смещение вверх на $k$ единиц: $y = x^2 + k$.
• Смещение вниз на $k$ единиц: $y = x^2 - k$.

В нашем случае вершина находится в точке $(-1, 0)$, что соответствует смещению стандартной параболы $y=x^2$ на 1 единицу влево. Уравнение такой параболы имеет вид $y = (x - (-1))^2$, то есть $y = (x + 1)^2$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

А) $y = x^2 - 1$
Это график параболы $y = x^2$, смещённый на 1 единицу вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -1)$. Этот вариант не подходит.

Б) $y = x^2 + 1$
Это график параболы $y = x^2$, смещённый на 1 единицу вверх. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$. Этот вариант не подходит.

В) $y = (x - 1)^2$
Это график параболы $y = x^2$, смещённый на 1 единицу вправо. Вершина этой параболы находится в точке $(1, 0)$. Этот вариант не подходит.

Г) $y = (x + 1)^2$
Это график параболы $y = x^2$, смещённый на 1 единицу влево. Вершина этой параболы находится в точке $(-1, 0)$. Это полностью соответствует изображению на рисунке.
Для дополнительной проверки можно взять точку на графике, например, $(0, 1)$. Подставим её в уравнение: $y = (0+1)^2 = 1^2 = 1$. Точка принадлежит графику.

Ответ: Г.

8. Укажите координаты вершины параболы $y = 3(x-4)^2 - 5$.

А) $(4; 5)$

Б) $(-4; 5)$

В) $(4; -5)$

Г) $(-4; -5)$

Уравнение параболы представлено в вершинной форме, которая имеет общий вид:

$y = a(x - h)^2 + k$

где $(h; k)$ — это координаты вершины параболы.

В заданном уравнении $y = 3(x - 4)^2 - 5$ необходимо сравнить его с общей формой для нахождения координат вершины.

Сравнивая выражение $(x - 4)^2$ с $(x - h)^2$, находим абсциссу вершины: $h = 4$.

Сравнивая свободный член $-5$ с $k$, находим ординату вершины: $k = -5$.

Таким образом, координаты вершины параболы — это $(4; -5)$.

Этот результат соответствует варианту ответа В.

Ответ: В) (4; –5)

9. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Используя рисунок, укажите промежуток убывания функции.

А) $[-4; 1]$

Б) $[-3; 3]$

В) $[-2; 3]$

Г) $[-3; 1]$

Промежуток убывания функции — это такой интервал на оси абсцисс (оси $x$), на котором при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. Визуально на графике это участок, где линия графика идёт вниз, если смотреть слева направо.

Рассмотрим данный график функции $y = f(x)$:

1. Находим на графике самую высокую точку (локальный максимум). По сетке определяем её координаты: абсцисса (значение по $x$) равна $-2$, ордината (значение по $y$) равна $3$.

2. Находим самую низкую точку (локальный минимум). По сетке определяем её координаты: абсцисса равна $3$, ордината равна $-3$.

3. Функция убывает на интервале между точкой локального максимума и точкой локального минимума. То есть, график идёт вниз на отрезке оси $x$ от $-2$ до $3$.

Следовательно, промежуток убывания функции — это отрезок $[-2; 3]$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами ответов:
А) $[-4; 1]$
Б) $[-3; 3]$
В) $[-2; 3]$
Г) $[-3; 1]$
мы видим, что наш результат соответствует варианту В.

Ответ: В) $[-2; 3]$

10. Найдите абсциссу вершины параболы $y = 2x^2 - 12x + 3.$

А) 6

Б) -6

В) 3

Г) -3

Чтобы найти абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, используется специальная формула.

Данное уравнение параболы: $y = 2x^2 - 12x + 3$.

Сравнивая это уравнение со стандартным видом, определим коэффициенты $a$ и $b$: $a = 2$ $b = -12$

Формула для вычисления абсциссы (координаты $x$) вершины параболы ($x_0$): $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подставим значения коэффициентов $a$ и $b$ в формулу: $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2}$

Выполним вычисления: $x_0 = -\frac{-12}{4} = -(-3) = 3$

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна 3. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: 3

11. Вершина какой из парабол принадлежит оси абсцисс?

А) $y = x^2 - 6$

Б) $y = x^2 - 6x$

В) $y = (x - 6)^2$

Г) $y = (x - 6)^2 + 2$

Для того чтобы вершина параболы принадлежала оси абсцисс (оси Ox), ее ордината (координата y) должна быть равна нулю. Координаты вершины параболы, заданной в виде $y = a(x - h)^2 + k$, находятся в точке $(h; k)$. Проанализируем каждый вариант, чтобы найти параболу, у которой ордината вершины $k=0$.

А) $y = x^2 - 6$

Данное уравнение можно представить в вершинной форме как $y = (x - 0)^2 - 6$. Отсюда следует, что координаты вершины этой параболы — $(0; -6)$. Ордината вершины $k = -6$, что не равно нулю. Ответ: вершина данной параболы не принадлежит оси абсцисс.

Б) $y = x^2 - 6x$

Чтобы найти вершину, преобразуем уравнение, выделив полный квадрат: $y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$. Координаты вершины этой параболы — $(3; -9)$. Ордината вершины $k = -9$, что не равно нулю. Ответ: вершина данной параболы не принадлежит оси абсцисс.

В) $y = (x - 6)^2$

Уравнение уже представлено в вершинной форме. Его можно записать как $y = (x - 6)^2 + 0$. Координаты вершины этой параболы — $(6; 0)$. Ордината вершины $k = 0$. Это означает, что вершина лежит на оси абсцисс. Ответ: вершина данной параболы принадлежит оси абсцисс.

Г) $y = (x - 6)^2 + 2$

Уравнение представлено в вершинной форме. Координаты вершины этой параболы — $(6; 2)$. Ордината вершины $k = 2$, что не равно нулю. Ответ: вершина данной параболы не принадлежит оси абсцисс.

Таким образом, единственная парабола из предложенных, вершина которой принадлежит оси абсцисс, — это парабола из варианта В.

12. На рисунке изображён график функции $y = -x^2 + 2x + 4$. Используя рисунок, найдите область значений функции.

А) $(-\infty; +\infty)$

Б) $(-\infty; 1]$

В) $[1; +\infty)$

Г) $(-\infty; 5]$

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые принимает переменная y. Чтобы найти область значений по графику, необходимо определить промежуток, который занимают все точки графика вдоль оси ординат (оси y).

На рисунке изображен график функции $y = -x^2 + 2x + 4$, который представляет собой параболу. Ветви этой параболы направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Из графика видно, что вершина параболы (её самая высокая точка) находится в точке с координатами $(1; 5)$. Следовательно, наибольшее значение, которое может принять функция, равно 5.

Поскольку ветви параболы неограниченно простираются вниз, функция принимает все действительные значения, меньшие или равные 5.

Таким образом, область значений данной функции — это промежуток $(-\infty; 5]$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что этот ответ соответствует варианту Г).

Ответ: Г) $(-\infty; 5]$

13. На рисунке изображён график функции $y = x^2 + 4x + 1$. Используя рисунок, укажите промежуток возрастания функции.

А) $(-\infty; -2]$

Б) $[-2; +\infty)$

В) $[-3; +\infty)$

Г) определить невозможно

Задача состоит в том, чтобы по графику функции определить промежуток ее возрастания. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента (x) из этого промежутка соответствует большее значение функции (y). Визуально это означает, что график функции на этом промежутке "идет вверх" при движении слева направо.

На рисунке изображена парабола — график функции $y = x^2 + 4x + 1$. Ветви этой параболы направлены вверх. Это значит, что функция сначала убывает до своей самой низкой точки (вершины), а затем начинает возрастать.

Чтобы найти промежуток возрастания, необходимо определить абсциссу (координату по оси x) вершины параболы. По графику видно, что вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -2$.

Наблюдая за графиком, мы видим, что справа от точки $x = -2$ линия графика направлена вверх. Это означает, что функция возрастает, когда x принимает значения из промежутка от $-2$ до плюс бесконечности. Крайняя левая точка $x=-2$ включается в промежуток возрастания.

Таким образом, промежуток возрастания функции — это $[-2; +\infty)$.

Для проверки можно найти абсциссу вершины аналитически. Для квадратичной функции вида $y = ax^2+bx+c$ абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $b=4$.
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Этот расчет подтверждает, что абсцисса вершины, определенная по графику, верна.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $[-2; +\infty)$