Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Квадратными неравенствами, или неравенствами второй степени с одной переменной, называют неравенства, которые после преобразований можно свести к одному из следующих четырёх основных видов:

$ax^2 + bx + c > 0$

$ax^2 + bx + c < 0$

$ax^2 + bx + c \ge 0$

$ax^2 + bx + c \le 0$

В этих формулах:

• $x$ — это переменная, значение которой нужно найти.

• $a, b, c$ — это числовые коэффициенты, причём $a$ называют старшим коэффициентом, $b$ — вторым коэффициентом, а $c$ — свободным членом.

Самое важное условие, которое отличает квадратное неравенство от любого другого, — это требование, чтобы старший коэффициент $a$ не был равен нулю ($a \neq 0$). Если $a = 0$, то член $ax^2$ обнуляется, и неравенство превращается в линейное ($bx + c > 0$), а не квадратное. Коэффициенты $b$ и $c$ при этом могут быть любыми числами, включая ноль.

Примеры квадратных неравенств:

1. $3x^2 - 4x + 1 \le 0$ (полное квадратное неравенство, где $a=3, b=-4, c=1$)

2. $-x^2 + 16 > 0$ (неполное квадратное неравенство, где $a=-1, b=0, c=16$)

3. $5x^2 + 2x \ge 0$ (неполное квадратное неравенство, где $a=5, b=2, c=0$)

Ответ: Квадратными неравенствами называют неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числа, и обязательно выполняется условие $a \neq 0$.

2. Какие возможны случаи расположения параболы $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси абсцисс в зависимости от знаков $a$ и $D$, где $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$? Изобразите схематически эти случаи.

Расположение параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, относительно оси абсцисс (оси Ox) полностью определяется знаками старшего коэффициента $a$ и дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы:

• При $a > 0$ ветви параболы направлены вверх.
• При $a < 0$ ветви параболы направлены вниз.

Дискриминант $D$ квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ определяет количество его действительных корней, которые, в свою очередь, являются x-координатами точек пересечения параболы с осью абсцисс:

• При $D > 0$ парабола имеет две точки пересечения с осью Ox.
• При $D = 0$ парабола имеет одну точку касания с осью Ox (в своей вершине).
• При $D < 0$ парабола не имеет общих точек с осью Ox.

Рассмотрим все шесть возможных комбинаций этих условий.

399. Какие из чисел -2; 0; 1 являются решениями неравенства:

1) $x^2 - x - 2 < 0;$

2) $x^2 + x \ge 0;$

3) $-3x^2 - x + 2 > 0?$

Чтобы определить, какие из чисел $-2; 0; 1$ являются решениями неравенств, необходимо подставить каждое из этих чисел в неравенство и проверить, выполняется ли оно.

1) $x^2 - x - 2 < 0$

Выполним проверку для каждого числа:

При $x = -2$:
$(-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$.
Получаем неравенство $4 < 0$, которое является ложным. Следовательно, число $-2$ не является решением.

При $x = 0$:
$0^2 - 0 - 2 = -2$.
Получаем неравенство $-2 < 0$, которое является истинным. Следовательно, число $0$ является решением.

При $x = 1$:
$1^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$.
Получаем неравенство $-2 < 0$, которое является истинным. Следовательно, число $1$ является решением.

Ответ: 0; 1.

2) $x^2 + x \geq 0$

Выполним проверку для каждого числа:

При $x = -2$:
$(-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$.
Получаем неравенство $2 \geq 0$, которое является истинным. Следовательно, число $-2$ является решением.

При $x = 0$:
$0^2 + 0 = 0$.
Получаем неравенство $0 \geq 0$, которое является истинным. Следовательно, число $0$ является решением.

При $x = 1$:
$1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Получаем неравенство $2 \geq 0$, которое является истинным. Следовательно, число $1$ является решением.

Ответ: -2; 0; 1.

3) $-3x^2 - x + 2 > 0$

Выполним проверку для каждого числа:

При $x = -2$:
$-3(-2)^2 - (-2) + 2 = -3(4) + 2 + 2 = -12 + 4 = -8$.
Получаем неравенство $-8 > 0$, которое является ложным. Следовательно, число $-2$ не является решением.

При $x = 0$:
$-3(0)^2 - 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$.
Получаем неравенство $2 > 0$, которое является истинным. Следовательно, число $0$ является решением.

При $x = 1$:
$-3(1)^2 - 1 + 2 = -3 - 1 + 2 = -2$.
Получаем неравенство $-2 > 0$, которое является ложным. Следовательно, число $1$ не является решением.

Ответ: 0.