Страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. Найдите нули функции $y = 2x^2 + x - 6$.

А) -1,5; -2

В) -1,5; 2

Б) 1,5; 2

Г) 1,5; -2

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = 2x^2 + x - 6$, необходимо решить квадратное уравнение:

$2x^2 + x - 6 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Сначала определим коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = 1$, $c = -6$.

Теперь вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$

Поскольку дискриминант $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Таким образом, нулями функции являются числа $1,5$ и $-2$. Этот результат соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) 1,5; -2

15. При каких значениях $b$ и $c$ вершина параболы $y = x^2 + bx + c$ находится в точке $M(3; 8)$?

А) $b = 6, c = -19$

Б) $b = -6, c = 17$

В) $b = -3, c = 8$

Г) определить невозможно

Для того чтобы найти значения коэффициентов b и c, можно воспользоваться формулой для координат вершины параболы или вершинной формой уравнения параболы.

Способ 1: Через формулы координат вершины

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 + bx + c$. В общем виде уравнение параболы записывается как $y = ax^2 + bx + c$, следовательно, в нашем случае коэффициент $a = 1$.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -b / (2a)$
$y_0 = y(x_0)$

По условию, вершина параболы находится в точке $M(3; 8)$, значит, $x_0 = 3$ и $y_0 = 8$.

Сначала найдем коэффициент b, подставив известные значения $x_0 = 3$ и $a = 1$ в формулу для абсциссы вершины:
$3 = -b / (2 \cdot 1)$
$3 = -b / 2$
Умножив обе части на -2, получим:
$b = -6$

Теперь найдем коэффициент c. Поскольку точка $M(3; 8)$ является точкой на параболе, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x = 3$, $y = 8$ и найденное значение $b = -6$ в исходное уравнение:
$8 = (3)^2 + (-6) \cdot 3 + c$
$8 = 9 - 18 + c$
$8 = -9 + c$
Отсюда находим c:
$c = 8 + 9 = 17$

Способ 2: Через вершинную форму уравнения параболы

Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0; y_0)$ можно записать в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Подставим известные нам значения $a = 1$, $x_0 = 3$ и $y_0 = 8$:
$y = 1 \cdot (x - 3)^2 + 8$
$y = (x - 3)^2 + 8$

Теперь раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду $y = x^2 + bx + c$:
$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 8$
$y = (x^2 - 6x + 9) + 8$
$y = x^2 - 6x + 17$

Сравнивая полученное уравнение с $y = x^2 + bx + c$, находим, что $b = -6$ и $c = 17$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату, который соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $b = -6, c = 17$

16. На рисунке изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Укажите верное утверждение, если $D$ – дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$.

А) $a > 0, D > 0$

Б) $a < 0, D < 0$

В) $a > 0, D < 0$

Г) $a > 0, D = 0$

Чтобы найти верное утверждение, проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, изображенный на рисунке.

1. Анализ знака коэффициента $a$.
Коэффициент $a$ в уравнении квадратичной функции определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. На представленном графике ветви параболы направлены вверх, следовательно, мы можем заключить, что $a > 0$.

2. Анализ знака дискриминанта $D$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ определяет количество действительных корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Количество корней, в свою очередь, равно количеству точек пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox).
- Если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
- Если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке (её вершина лежит на оси Ox).
- Если $D < 0$, парабола не пересекает и не касается оси Ox.
На графике мы видим, что парабола полностью находится выше оси Ox и не имеет с ней ни одной общей точки. Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Итак, мы установили, что для функции, график которой изображен на рисунке, должны выполняться два условия: $a > 0$ и $D < 0$. Из всех предложенных вариантов только один удовлетворяет этим двум условиям.

В) $a > 0, D < 0$

Ответ: В) $a > 0, D < 0$

17. При каком значении $a$ наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 6x + a$ равно 4?

А) -5

Б) 4

В) 7

Г) 8

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 6x + a$ равно 4, можно воспользоваться свойствами квадратичной функции.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Способ 1: Нахождение наименьшего значения через вершину параболы

Координата $x_0$ вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, вычисляется по формуле $x_0 = -B / (2A)$.
Для нашей функции $A=3$, $B=-6$. Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -(-6) / (2 \cdot 3) = 6 / 6 = 1$.

Наименьшее значение функции ($y_{min}$) — это ее значение в точке $x_0 = 1$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы выразить $y_{min}$ через $a$:
$y_{min} = 3(1)^2 - 6(1) + a = 3 - 6 + a = a - 3$.

По условию задачи, наименьшее значение функции должно быть равно 4. Приравняем полученное выражение к 4 и решим уравнение:
$a - 3 = 4$
$a = 4 + 3$
$a = 7$.

Способ 2: Метод выделения полного квадрата

Преобразуем выражение для функции:
$y = 3x^2 - 6x + a$
Вынесем общий множитель 3 за скобки у слагаемых, содержащих $x$:
$y = 3(x^2 - 2x) + a$
Дополним выражение в скобках до полного квадрата разности $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$, для этого прибавим и вычтем 1:
$y = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + a$
$y = 3((x - 1)^2 - 1) + a$
Раскроем внешние скобки:
$y = 3(x-1)^2 - 3 + a$

Выражение $3(x-1)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю), его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=1$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно:
$y_{min} = 0 - 3 + a = a - 3$.

Зная из условия, что $y_{min} = 4$, получаем:
$a - 3 = 4$
$a = 7$.

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 7

18. Известно, что $m - n = 8$. Найдите множество значений выражения $mn$.

А) $[-16; +\infty)$
Б) $[8; +\infty)$
В) $(-\infty; +\infty)$
Г) определить невозможно

Нам дано равенство $m - n = 8$. Необходимо найти множество значений, которые может принимать произведение $mn$.

Для начала выразим одну переменную через другую из данного равенства. Например, выразим $m$ через $n$: $m = n + 8$.

Теперь подставим это выражение в произведение $mn$, чтобы получить функцию от одной переменной $n$: $mn = (n + 8)n = n^2 + 8n$.

Мы получили квадратичную функцию $f(n) = n^2 + 8n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$). Это означает, что функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ по оси абсцисс (в нашем случае по оси $n$) находится по формуле $n_{верш} = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $f(n) = n^2 + 8n$ коэффициенты равны $a = 1$ и $b = 8$.

Найдем координату вершины: $n_{верш} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.

Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив $n = -4$ в выражение для произведения: $mn_{мин} = (-4)^2 + 8(-4) = 16 - 32 = -16$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, а ее наименьшее значение равно $-16$, множество значений выражения $mn$ будет включать все числа от $-16$ до плюс бесконечности. Таким образом, искомое множество значений – это промежуток $[-16; +\infty)$.

Ответ: А) $[-16; +\infty)$