Номер 16, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

16. На рисунке изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Укажите верное утверждение, если $D$ – дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$.

А) $a > 0, D > 0$

Б) $a < 0, D < 0$

В) $a > 0, D < 0$

Г) $a > 0, D = 0$

Чтобы найти верное утверждение, проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, изображенный на рисунке.

1. Анализ знака коэффициента $a$.
Коэффициент $a$ в уравнении квадратичной функции определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. На представленном графике ветви параболы направлены вверх, следовательно, мы можем заключить, что $a > 0$.

2. Анализ знака дискриминанта $D$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ определяет количество действительных корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Количество корней, в свою очередь, равно количеству точек пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox).
- Если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
- Если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке (её вершина лежит на оси Ox).
- Если $D < 0$, парабола не пересекает и не касается оси Ox.
На графике мы видим, что парабола полностью находится выше оси Ox и не имеет с ней ни одной общей точки. Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Итак, мы установили, что для функции, график которой изображен на рисунке, должны выполняться два условия: $a > 0$ и $D < 0$. Из всех предложенных вариантов только один удовлетворяет этим двум условиям.

В) $a > 0, D < 0$

Ответ: В) $a > 0, D < 0$