Номер 401, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

401. На рисунке 78 изображён график функции $y = -3x^2 - 6x$. Найдите множество решений неравенства:

1) $-3x^2 - 6x < 0;$

2) $-3x^2 - 6x \leq 0;$

3) $-3x^2 - 6x > 0;$

4) $-3x^2 - 6x \geq 0.$

Рис. 78

Для решения неравенств используется график функции $y = -3x^2 - 6x$. Сначала определим точки пересечения графика с осью абсцисс ($x$), решив уравнение $y=0$.

$-3x^2 - 6x = 0$

$-3x(x + 2) = 0$

Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Эти точки видны на графике как точки пересечения параболы с осью $x$.

1) Решить неравенство $-3x^2 - 6x < 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции $y = -3x^2 - 6x$ находится ниже оси абсцисс (то есть $y < 0$). По графику видно, что ветви параболы уходят вниз слева от точки $x = -2$ и справа от точки $x = 0$. Так как неравенство строгое, сами точки $x=-2$ и $x=0$ в решение не входят.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

2) Решить неравенство $-3x^2 - 6x \le 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции находится ниже или на оси абсцисс ($y \le 0$). Это те же промежутки, что и в пункте 1, но с включением точек, где $y=0$, то есть $x=-2$ и $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

3) Решить неравенство $-3x^2 - 6x > 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции находится выше оси абсцисс ($y > 0$). На графике видно, что это происходит на интервале между точками пересечения с осью $x$, то есть между $-2$ и $0$. Так как неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Ответ: $x \in (-2; 0)$.

4) Решить неравенство $-3x^2 - 6x \ge 0$ — значит найти такие значения $x$, при которых график функции находится выше или на оси абсцисс ($y \ge 0$). Это тот же интервал, что и в пункте 3, но с включением точек, где $y=0$, то есть $x=-2$ и $x=0$.
Ответ: $x \in [-2; 0]$.