Номер 405, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

405. Решите неравенство:

1) $x^2 + 4x + 3 > 0$;

2) $x^2 - 3x + 2 \leq 0$;

3) $-x^2 + 12x + 45 < 0$;

4) $-3x^2 - 5x - 2 \geq 0$;

5) $x^2 - 5x > 0$;

6) $-25x^2 + 16 \leq 0$;

7) $5x^2 - 3x + 1 \geq 0$;

8) $-3x^2 + 6x - 4 > 0$;

9) $\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \leq 0$;

10) $-x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} > 0$;

11) $2x^2 - 2x + 0.5 < 0$.

1) $x^2 + 4x + 3 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
$a=1, b=4, c=3$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=-1$.
Значения функции положительны ($> 0$) на интервалах, где график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, $x < -3$ или $x > -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

2) $x^2 - 3x + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
$a=1, b=-3, c=2$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Значения функции неположительны ($\le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $1 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [1; 2]$.

3) $-x^2 + 12x + 45 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 12x - 45 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 12x - 45 = 0$.
$a=1, b=-12, c=-45$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$.
$x_1 = \frac{12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 18}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 18}{2} = 15$.
Ветви параболы $y = x^2 - 12x - 45$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Значения функции положительны ($> 0$) за пределами корней.
Таким образом, $x < -3$ или $x > 15$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (15; +\infty)$.

4) $-3x^2 - 5x - 2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак:
$3x^2 + 5x + 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x + 2 = 0$.
$a=3, b=5, c=2$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x + 2$ направлены вверх ($a=3 > 0$).
Значения функции неположительны ($\le 0$) между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $-1 \le x \le -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in [-1; -\frac{2}{3}]$.

5) $x^2 - 5x > 0$

Разложим левую часть на множители: $x(x - 5) > 0$.
Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Функция положительна за пределами корней.
Таким образом, $x < 0$ или $x > 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

6) $-25x^2 + 16 \le 0$

Умножим на -1 и изменим знак: $25x^2 - 16 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $25x^2 - 16 = 0$.
$25x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{25} \implies x_{1,2} = \pm \frac{4}{5}$.
Ветви параболы $y = 25x^2 - 16$ направлены вверх ($a=25 > 0$).
Функция неотрицательна ($\ge 0$) за пределами корней, включая корни.
Таким образом, $x \le -\frac{4}{5}$ или $x \ge \frac{4}{5}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}] \cup [\frac{4}{5}; +\infty)$.

7) $5x^2 - 3x + 1 \ge 0$

Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 3x + 1 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), значит ветви параболы $y = 5x^2 - 3x + 1$ направлены вверх.
Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, она целиком лежит выше оси Ox. Это значит, что выражение $5x^2 - 3x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $5x^2 - 3x + 1 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

8) $-3x^2 + 6x - 4 > 0$

Найдем дискриминант уравнения $-3x^2 + 6x - 4 = 0$.
$D = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 36 - 48 = -12$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $x^2$ равен -3 (отрицательный), значит ветви параболы $y = -3x^2 + 6x - 4$ направлены вниз.
Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вниз, она целиком лежит ниже оси Ox. Это значит, что выражение $-3x^2 + 6x - 4$ всегда отрицательно.
Неравенство требует, чтобы выражение было положительным, что невозможно.
Ответ: решений нет.

9) $\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \le 0$

Умножим обе части неравенства на 3:
$x^2 - 6x + 9 \le 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(x-3)^2$.
Неравенство принимает вид $(x-3)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, т.е. $(x-3)^2 \ge 0$.
Следовательно, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ может выполняться только если $(x-3)^2 = 0$.
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Ответ: $x=3$.

10) $-x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} > 0$

Умножим обе части неравенства на -36 и изменим знак неравенства:
$36x^2 - 12x + 1 < 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(6x-1)^2$.
Неравенство принимает вид $(6x-1)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

11) $2x^2 - 2x + 0,5 < 0$

Умножим обе части неравенства на 2:
$4x^2 - 4x + 1 < 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(2x-1)^2$.
Неравенство принимает вид $(2x-1)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.