Номер 409, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

409. Решите неравенство:

1) $2(x^2 + 2) \ge x(x + 5);$

2) $x - (x + 4)(x + 5) > -5;$

3) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(x + 2) < 7 - 3x;$

4) $\frac{x-1}{4} - \frac{2x-3}{2} < \frac{x^2+3x}{8}.$

1) $2(x^2 + 2) \ge x(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2x^2 + 4 \ge x^2 + 5x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x^2 - 5x + 4 \ge 0$

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$, чтобы найти корни параболы $y = x^2 - 5x + 4$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

2) $x - (x + 4)(x + 5) > -5$

Раскроем скобки:

$x - (x^2 + 5x + 4x + 20) > -5$

$x - (x^2 + 9x + 20) > -5$

$x - x^2 - 9x - 20 > -5$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну часть:

$-x^2 - 8x - 20 + 5 > 0$

$-x^2 - 8x - 15 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 8x + 15 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней равна -8, произведение равно 15. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 8x + 15$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 8x + 15 < 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Таким образом, решение: $-5 < x < -3$.

Ответ: $x \in (-5; -3)$.

3) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(x + 2) < 7 - 3x$

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого слагаемого и раскроем скобки во втором:

$(36x^2 - 1) - (12x^2 + 24x - 5x - 10) < 7 - 3x$

$36x^2 - 1 - (12x^2 + 19x - 10) < 7 - 3x$

$36x^2 - 1 - 12x^2 - 19x + 10 < 7 - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$24x^2 - 19x + 9 < 7 - 3x$

Перенесем все члены в левую часть:

$24x^2 - 19x + 3x + 9 - 7 < 0$

$24x^2 - 16x + 2 < 0$

Разделим обе части неравенства на 2 для упрощения:

$12x^2 - 8x + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $12x^2 - 8x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 - 48 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{8 \pm 4}{24}$

$x_1 = \frac{8 - 4}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{8 + 4}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Ветви параболы $y = 12x^2 - 8x + 1$ направлены вверх. Неравенство $12x^2 - 8x + 1 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $\frac{1}{6} < x < \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{6}; \frac{1}{2})$.

4) $\frac{x - 1}{4} - \frac{2x - 3}{2} < \frac{x^2 + 3x}{8}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{x - 1}{4} - 8 \cdot \frac{2x - 3}{2} < 8 \cdot \frac{x^2 + 3x}{8}$

$2(x - 1) - 4(2x - 3) < x^2 + 3x$

Раскроем скобки:

$2x - 2 - 8x + 12 < x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-6x + 10 < x^2 + 3x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 < x^2 + 3x + 6x - 10$

$x^2 + 9x - 10 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней равна -9, произведение равно -10. Корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 9x - 10 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение: $x < -10$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (1; +\infty)$.