Номер 416, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

416. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $42 - x^2 - x > 0$;

2) $2x^2 - 3x - 20 < 0$.

1) Чтобы решить неравенство $42 - x^2 - x > 0$, сначала приведем его к стандартному виду. Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 + x - 42 < 0$.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = 6$.
Мы решаем неравенство $x^2 + x - 42 < 0$. Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля находятся между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-7; 6)$.
Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в этот интервал: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Наименьшее из этих чисел — $-6$.
Ответ: -6

2) Решим неравенство $2x^2 - 3x - 20 < 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 20 = 0$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 13}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 13}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Мы решаем неравенство $2x^2 - 3x - 20 < 0$. Графиком функции $y = 2x^2 - 3x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля находятся между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-2.5; 4)$.
Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в этот интервал: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$.
Наименьшее из этих чисел — $-2$.
Ответ: -2