Номер 418, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

418. Составьте какое-нибудь неравенство, множество решений которого:

1) объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$;

2) промежуток $[-2; 9]$;

3) состоит из одного числа 7.

1) объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$

Требуемое множество решений $x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)$ можно представить в виде совокупности двух строгих неравенств: $x < -4$ или $x > 8$. Такое множество решений характерно для квадратного неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ с положительным старшим коэффициентом ($a > 0$), корни которого равны $-4$ и $8$.

Составим соответствующее квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-4$ и $8$. Используя теорему Виета, можем записать уравнение в виде $(x - x_1)(x - x_2) = 0$, где $x_1 = -4$ и $x_2 = 8$.

Получаем: $(x - (-4))(x - 8) = 0$ $(x + 4)(x - 8) = 0$ $x^2 - 8x + 4x - 32 = 0$ $x^2 - 4x - 32 = 0$

Теперь рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x - 32$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -4$ и $x = 8$. Значения функции положительны ($y > 0$) за пределами корней, то есть при $x < -4$ или $x > 8$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 4x - 32 > 0$ имеет в качестве множества решений объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$.

Ответ: $x^2 - 4x - 32 > 0$.

2) промежуток $[-2; 9]$

Требуемое множество решений $x \in [-2; 9]$ можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le x \le 9$. Такое множество решений характерно для квадратного неравенства вида $ax^2+bx+c \le 0$ с положительным старшим коэффициентом ($a > 0$), корни которого равны $-2$ и $9$.

Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = 9$: $(x - (-2))(x - 9) = 0$ $(x + 2)(x - 9) = 0$ $x^2 - 9x + 2x - 18 = 0$ $x^2 - 7x - 18 = 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 7x - 18$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 9$. Значения функции неположительны ($y \le 0$) между корнями, включая сами корни. То есть, при $-2 \le x \le 9$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 7x - 18 \le 0$ имеет в качестве множества решений промежуток $[-2; 9]$.

Ответ: $x^2 - 7x - 18 \le 0$.

3) состоит из одного числа 7

Нам нужно составить неравенство, решением которого является единственное число $x=7$. Для этого можно использовать выражение, которое всегда неотрицательно и обращается в ноль только при $x = 7$. Таким выражением является квадрат разности $(x - 7)^2$.

Выражение $(x-7)^2$ обладает следующими свойствами:

• $(x-7)^2 > 0$ при $x \ne 7$;
• $(x-7)^2 = 0$ при $x = 7$.

Таким образом, $(x-7)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Рассмотрим неравенство $(x - 7)^2 \le 0$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственная возможность для выполнения этого неравенства — это равенство: $(x - 7)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем: $x - 7 = 0$ $x = 7$

Таким образом, множество решений неравенства $(x - 7)^2 \le 0$ состоит из одного числа 7. Другим примером может служить неравенство с модулем $|x-7| \le 0$, которое также имеет единственное решение $x=7$.

Ответ: $(x - 7)^2 \le 0$.