Номер 425, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

425. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -6x^2 + 13x - 5 \le 0, \\ 6 - 2x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 7x - 18 < 0, \\ 5x - x^2 \le 0. \end{cases}$

Решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $-6x^2 + 13x - 5 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-6x^2 + 13x - 5 = 0$. Для удобства умножим уравнение на $-1$:

$6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = -6x^2 + 13x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ равен $-6 < 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

Второе неравенство: $6 - 2x > 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем $2x$ в правую часть:

$6 > 2x$

$3 > x$, или $x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 3)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)) \cap (-\infty; 3)$.

На числовой прямой это будет выглядеть как пересечение двух множеств. Первое множество – это все числа до $\frac{1}{2}$ включительно и от $\frac{5}{3}$ включительно. Второе – все числа до $3$.

Пересечение дает нам два промежутка:

1. $(-\infty; \frac{1}{2}] \cap (-\infty; 3) = (-\infty; \frac{1}{2}]$

2. $[\frac{5}{3}; +\infty) \cap (-\infty; 3) = [\frac{5}{3}; 3)$

Объединяем эти промежутки и получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$.

Решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 - 7x - 18 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $-18$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 9$.

Проверим через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm 11}{2}$, то есть $x_1 = \frac{7 - 11}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{7 + 11}{2} = 9$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Неравенство $< 0$ выполняется на промежутке между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2; 9)$.

Второе неравенство: $5x - x^2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $5x - x^2 = 0$.

$x(5 - x) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = 5x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Неравенство $\le 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-2; 9) \cap ((-\infty; 0] \cup [5; +\infty))$.

Ищем общие точки для интервала $(-2; 9)$ и объединения $(-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

1. Пересечение $(-2; 9)$ с $(-\infty; 0]$: $x \in (-2; 0]$.

2. Пересечение $(-2; 9)$ с $[5; +\infty)$: $x \in [5; 9)$.

Объединяя эти два полученных интервала, получаем окончательное решение системы.

Ответ: $x \in (-2; 0] \cup [5; 9)$.