Номер 429, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

429. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 8|x| - 33 < 0;$

2) $8x^2 + 7|x| - 1 \ge 0.$

1) $x^2 - 8|x| - 33 < 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Исходное неравенство принимает вид:

$t^2 - 8t - 33 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 8t - 33 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = 11$

Парабола $y = t^2 - 8t - 33$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, неравенство $t^2 - 8t - 33 < 0$ выполняется между корнями:

$-3 < t < 11$

Теперь учтем условие $t \ge 0$. Пересечение множеств $(-3, 11)$ и $[0, +\infty)$ дает:

$0 \le t < 11$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = |x|$:

$0 \le |x| < 11$

Неравенство $|x| \ge 0$ верно для любого действительного числа $x$. Остается решить неравенство $|x| < 11$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-11 < x < 11$

Таким образом, множество решений — это интервал $(-11, 11)$.

Ответ: $(-11, 11)$

2) $8x^2 + 7|x| - 1 \ge 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, произведем замену переменной: $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Неравенство преобразуется к виду:

$8t^2 + 7t - 1 \ge 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $8t^2 + 7t - 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Парабола $y = 8t^2 + 7t - 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $8t^2 + 7t - 1 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами корней (включая сами корни):

$t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{8}$

Теперь учтем ограничение $t \ge 0$. Совокупность ($t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{8}$) вместе с условием $t \ge 0$ дает нам $t \ge \frac{1}{8}$, так как промежуток $t \le -1$ не содержит неотрицательных чисел.

Выполняем обратную замену $t = |x|$:

$|x| \ge \frac{1}{8}$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge \frac{1}{8}$ или $x \le -\frac{1}{8}$

Множество решений представляет собой объединение двух лучей: $(-\infty, -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}, +\infty)$