Номер 434, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

434. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$;

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \geq 0$;

3) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$;

4) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \leq 0$.

Для решения всех четырех неравенств сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $\sqrt{14+5x-x^2}$ должно быть неотрицательным:$14+5x-x^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$ и поменяем знак на противоположный:$x^2 - 5x - 14 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14$, решив уравнение $x^2 - 5x - 14 = 0$.Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.$x_2 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Графиком функции y = $x^2 - 5x - 14$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.

1) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0$

Произведение двух множителей положительно. Так как множитель $\sqrt{14+5x-x^2}$ не может быть отрицательным, для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, а значит, и второй множитель $(x-3)$ должен быть строго положителен.

Таким образом, неравенство равносильно системе:$\begin{cases} 14+5x-x^2 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства системы: $x \in (-2, 7)$.Решение второго неравенства: $x > 3$.

Пересечением множеств решений $x \in (-2, 7)$ и $x \in (3, \infty)$ является интервал $(3, 7)$.

Ответ: $x \in (3, 7)$.

2) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \ge 0$

Неравенство выполняется, если выражение равно нулю или если оно строго положительно.

Случай 1: Выражение равно нулю.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} = 0$.Это верно, если $x-3=0$ (то есть $x=3$) или $\sqrt{14+5x-x^2}=0$ (то есть $x=-2$ или $x=7$).Таким образом, числа $-2, 3, 7$ являются решениями.

Случай 2: Выражение строго положительно.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0$.Как мы нашли в пункте 1), решением является интервал $(3, 7)$.

Объединив решения обоих случаев, получаем множество $\{ -2, 3, 7 \} \cup (3, 7)$, что равно $\{ -2 \} \cup [3, 7]$.

Ответ: $x \in \{ -2 \} \cup [3, 7]$.

3) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} < 0$

Произведение двух множителей отрицательно. Так как множитель $\sqrt{14+5x-x^2}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положителен, а второй множитель $(x-3)$ должен быть строго отрицателен.

Таким образом, неравенство равносильно системе:$\begin{cases} 14+5x-x^2 > 0 \\ x-3 < 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 7)$.Решение второго неравенства: $x < 3$.

Пересечением множеств решений $x \in (-2, 7)$ и $x \in (-\infty, 3)$ является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

4) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \le 0$

Неравенство выполняется, если выражение равно нулю или если оно строго отрицательно.

Случай 1: Выражение равно нулю.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} = 0$.Как мы нашли в пункте 2), это происходит при $x = -2, 3, 7$.

Случай 2: Выражение строго отрицательно.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} < 0$.Как мы нашли в пункте 3), решением является интервал $(-2, 3)$.

Объединив решения обоих случаев, получаем множество $\{ -2, 3, 7 \} \cup (-2, 3)$, что равно $[-2, 3] \cup \{ 7 \}$.

Ответ: $x \in [-2, 3] \cup \{ 7 \}$.