Номер 440, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

440. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицей квадратов и калькулятором:

1) $\sqrt{20 \cdot 66 \cdot 330}$;

2) $\sqrt{3^5 \cdot 12^3}$;

3) $2\sqrt{18} \cdot 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{15}$;

4) $6\sqrt{10} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{20 \cdot 66 \cdot 330}$, разложим числа под корнем на удобные множители, стараясь выделить одинаковые сомножители или полные квадраты.

Заметим, что $330 = 5 \cdot 66$. Подставим это в выражение:

$\sqrt{20 \cdot 66 \cdot 330} = \sqrt{20 \cdot 66 \cdot (5 \cdot 66)} = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 66 \cdot 66} = \sqrt{100 \cdot 66^2}$

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получаем:

$\sqrt{100 \cdot 66^2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{66^2} = 10 \cdot 66 = 660$

Ответ: 660.

2) Для нахождения значения выражения $\sqrt{3^5 \cdot 12^3}$, представим число 12 в виде произведения простых множителей и воспользуемся свойствами степеней.

$12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3^5 \cdot 12^3} = \sqrt{3^5 \cdot (3 \cdot 2^2)^3} = \sqrt{3^5 \cdot 3^3 \cdot (2^2)^3} = \sqrt{3^{5+3} \cdot 2^{2 \cdot 3}} = \sqrt{3^8 \cdot 2^6}$

Так как $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, извлечем корень:

$\sqrt{3^8 \cdot 2^6} = \sqrt{3^8} \cdot \sqrt{2^6} = 3^{8/2} \cdot 2^{6/2} = 3^4 \cdot 2^3$

Вычислим результат:

$3^4 \cdot 2^3 = 81 \cdot 8 = 648$

Ответ: 648.

3) Чтобы найти значение выражения $2\sqrt{18} \cdot 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{15}$, сгруппируем множители перед корнями и подкоренные выражения отдельно.

$2\sqrt{18} \cdot 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{15} = (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot \sqrt{18 \cdot 30 \cdot 15} = 30 \sqrt{18 \cdot 30 \cdot 15}$

Теперь разложим числа под корнем на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 3 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$30\sqrt{(2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)} = 30\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5} = 30\sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$

Извлечем корень:

$30 \cdot (\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2}) = 30 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) = 30 \cdot (2 \cdot 9 \cdot 5) = 30 \cdot 90$

Вычислим окончательное значение:

$30 \cdot 90 = 2700$

Ответ: 2700.

4) Для нахождения значения выражения $6\sqrt{10} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$, внесем все под один корень.

$6\sqrt{10} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50} = 6\sqrt{10 \cdot 45 \cdot 50}$

Разложим подкоренные числа на множители так, чтобы было удобно извлекать корень:

$45 = 5 \cdot 9$

$50 = 5 \cdot 10$

Подставим эти значения в выражение:

$6\sqrt{10 \cdot (5 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 10)} = 6\sqrt{(10 \cdot 10) \cdot (5 \cdot 5) \cdot 9} = 6\sqrt{10^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2}$

Извлечем корень из произведения квадратов:

$6\sqrt{(10 \cdot 5 \cdot 3)^2} = 6 \cdot (10 \cdot 5 \cdot 3) = 6 \cdot 150$

Вычислим результат:

$6 \cdot 150 = 900$

Ответ: 900.