Номер 439, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

439. Упростите выражение:

1) $\frac{x^2 + 3xy}{x + 6} : \frac{x^2 - 9y^2}{2x + 12}$;

2) $\frac{4a^2 - 12ab + 9b^2}{2a^2 - 8b^2} : \frac{2a^2 - 8ab + 8b^2}{6a - 9b}$.

1)

Чтобы упростить выражение, сначала заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{x^2 + 3xy}{x + 6} : \frac{x^2 - 9y^2}{2x + 12} = \frac{x^2 + 3xy}{x + 6} \cdot \frac{2x + 12}{x^2 - 9y^2}$.

Далее, разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя вынесение общего множителя и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
- $x^2 + 3xy = x(x + 3y)$
- $x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$
- $2x + 12 = 2(x + 6)$

Подставим полученные разложения в выражение:
$\frac{x(x + 3y)}{x + 6} \cdot \frac{2(x + 6)}{(x - 3y)(x + 3y)}$

Теперь сократим общие множители $(x + 6)$ и $(x + 3y)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{x \cdot (x + 3y) \cdot 2 \cdot (x + 6)}{(x + 6) \cdot (x - 3y) \cdot (x + 3y)} = \frac{2x}{x - 3y}$

Ответ: $\frac{2x}{x - 3y}$

2)

Для упрощения выражения, разложим числители и знаменатели обеих дробей на множители.

Факторизуем каждый многочлен, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:
- $4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = (2a - 3b)^2$ (квадрат разности).
- $2a^2 - 8b^2 = 2(a^2 - 4b^2) = 2(a - 2b)(a + 2b)$ (вынесение множителя и разность квадратов).
- $2a^2 - 8ab + 8b^2 = 2(a^2 - 4ab + 4b^2) = 2(a - 2b)^2$ (вынесение множителя и квадрат разности).
- $6a - 9b = 3(2a - 3b)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные многочлены обратно в выражение:
$\frac{(2a - 3b)^2}{2(a - 2b)(a + 2b)} \cdot \frac{2(a - 2b)^2}{3(2a - 3b)}$

Выполним сокращение общих множителей. Сокращаем $2$, один множитель $(a - 2b)$ и один множитель $(2a - 3b)$:
$\frac{(2a - 3b) \cdot (2a - 3b) \cdot 2 \cdot (a - 2b) \cdot (a - 2b)}{2 \cdot (a - 2b) \cdot (a + 2b) \cdot 3 \cdot (2a - 3b)} = \frac{(2a - 3b)(a - 2b)}{3(a + 2b)}$

Ответ: $\frac{(2a - 3b)(a - 2b)}{3(a + 2b)}$