Номер 433, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

433. Решите неравенство:

1) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0;$

2) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0;$

3) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0;$

4) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x - 15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. С помощью дискриминанта $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$ находим корни $x_1 = \frac{2-8}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{2+8}{2} = 5$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 15 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
Произведение двух множителей строго больше нуля, только если оба множителя строго положительны (так как квадратный корень не может быть отрицательным).
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства системы следует, что $x^2 - 2x - 15 > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.
Из первого неравенства системы получаем $x > -4$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in ((- \infty, -3) \cup (5, +\infty)) \cap (-4, +\infty)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-4, -3) \cup (5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4, -3) \cup (5, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0$.
ОДЗ, как и в предыдущем пункте: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
В области допустимых значений множитель $\sqrt{x^2 - 2x - 15}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Поэтому, чтобы произведение было неотрицательным, достаточно, чтобы первый множитель был неотрицателен, то есть $x + 4 \ge 0$, что означает $x \ge -4$.
Также необходимо учесть точки, где $\sqrt{x^2 - 2x - 15} = 0$, то есть $x=-3$ и $x=5$. В этих точках неравенство $0 \ge 0$ выполняется.
Найдем пересечение ОДЗ и условия $x \ge -4$:
$x \in ((-\infty, -3] \cup [5, +\infty)) \cap [-4, +\infty)$.
Пересечением является множество $[-4, -3] \cup [5, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-4, -3] \cup [5, +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
Произведение будет строго отрицательным, если один множитель положителен, а другой отрицателен. Так как $\sqrt{x^2 - 2x - 15}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а множитель $(x+4)$ — строго отрицательным.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x + 4 < 0 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x < -4$.
Из второго неравенства $x^2 - 2x - 15 > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.
Найдем пересечение решений системы: $x \in ((-\infty, -3) \cup (5, +\infty)) \cap (-\infty, -4)$.
Пересечением является интервал $(-\infty, -4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

4) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \le 0$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
Неравенство выполняется в двух случаях: когда произведение равно нулю или когда оно меньше нуля.
1) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю (и при этом $x$ входит в ОДЗ):
$x + 4 = 0 \implies x = -4$. Это значение входит в ОДЗ.
$\sqrt{x^2 - 2x - 15} = 0 \implies x = -3$ или $x = 5$. Эти значения входят в ОДЗ.
Таким образом, числа $\{-4, -3, 5\}$ являются решениями.
2) Произведение меньше нуля. Это неравенство мы решили в пункте 3. Его решение: $x \in (-\infty, -4)$.
Объединяя решения из пунктов 1) и 2), получаем:
$(-\infty, -4) \cup \{-4, -3, 5\} = (-\infty, -4] \cup \{-3, 5\}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup \{-3; 5\}$.