Номер 426, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

426. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} -2x^2 - 5x + 18 \geq 0, \\ x^2 + 4x - 5 \leq 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \leq 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x^2 - 5x + 18 \ge 0, \\ x^2 + 4x - 5 \le 0. \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство: $-2x^2 - 5x + 18 \ge 0$.

Для удобства умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^2 + 5x - 18 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$;
$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Парабола $y = 2x^2 + 5x - 18$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $2x^2 + 5x - 18 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-4.5, 2]$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 + 4x - 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5, 1]$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-4.5, 2] \cap [-5, 1]$.

Общим решением является отрезок $[-4.5, 1]$.

Нас интересуют целые решения на этом отрезке. Перечислим их: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-(-(\sqrt{5} - 3)) = \sqrt{5} - 3$, а их произведение равно $-3\sqrt{5}$.
Подбором находим корни: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5}$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Так как $-3 < \sqrt{5}$, решение первого неравенства: $x \in [-3, \sqrt{5}]$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x + 1) > 0$.
Корнями уравнения $x(x+1) = 0$ являются $x=0$ и $x=-1$.

Парабола $y = x^2 + x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $> 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-3, \sqrt{5}] \cap ((-\infty, -1) \cup (0, \infty))$.

Это соответствует объединению двух промежутков: $[-3, -1) \cup (0, \sqrt{5}]$.

Теперь выберем целые решения из этих промежутков. Учтем, что $2 < \sqrt{5} < 3$ (так как $4 < 5 < 9$).

Целые числа из промежутка $[-3, -1)$: -3, -2.
Целые числа из промежутка $(0, \sqrt{5}]$: 1, 2.

Объединяя найденные целые числа, получаем окончательный результат.

Ответ: -3, -2, 1, 2.