Номер 423, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

423. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 8bx + 15b + 1 = 0;$

2) $2x^2 + 2(b - 6)x + b - 2 = 0?$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант (D) строго больше нуля. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

1) $x^2 - 8bx + 15b + 1 = 0;$
Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Определим его коэффициенты:
$a = 1$
коэффициент при $x$: $-8b$
свободный член: $15b + 1$
Вычислим дискриминант $D$ для этого уравнения:
$D = (-8b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15b + 1) = 64b^2 - 60b - 4$
Условие наличия двух различных действительных корней — $D > 0$. Составим и решим неравенство:
$64b^2 - 60b - 4 > 0$
Для упрощения разделим обе части неравенства на 4:
$16b^2 - 15b - 1 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $16b^2 - 15b - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант этого уравнения (относительно $b$):
$D_b = (-15)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$
Найдем корни для $b$:
$b_1 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{15 - 17}{32} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16}$
$b_2 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{15 + 17}{32} = \frac{32}{32} = 1$
Парабола $y = 16b^2 - 15b - 1$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $b^2$ положителен ($16 > 0$). Следовательно, неравенство $16b^2 - 15b - 1 > 0$ выполняется, когда значения $b$ находятся вне интервала между корнями.
$b < -\frac{1}{16}$ или $b > 1$.
Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty)$.

2) $2x^2 + 2(b - 6)x + b - 2 = 0?$
Определим коэффициенты этого квадратного уравнения:
$a = 2$
коэффициент при $x$: $2(b - 6)$
свободный член: $b - 2$
Поскольку коэффициент при $x$ является четным, для удобства вычислений можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = k^2 - ac$, где $k$ — это половина коэффициента при $x$.
$k = \frac{2(b-6)}{2} = b - 6$
Условие $D > 0$ эквивалентно условию $D/4 > 0$.
$D/4 = (b - 6)^2 - 2 \cdot (b - 2) = (b^2 - 12b + 36) - (2b - 4) = b^2 - 12b + 36 - 2b + 4 = b^2 - 14b + 40$
Решим неравенство $D/4 > 0$:
$b^2 - 14b + 40 > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 14b + 40 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 40. Отсюда легко находим корни:
$b_1 = 4$
$b_2 = 10$
Парабола $y = b^2 - 14b + 40$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $b^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, неравенство выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.
$b < 4$ или $b > 10$.
Ответ: $b \in (-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.