Номер 422, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

422. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - ax + 4 = 0;$

2) $x^2 + (a - 2)x + 25 = 0;$

3) $4,5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0?$

Квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D=B^2-4AC$ строго меньше нуля ($D<0$). Мы применим это правило для каждого из данных уравнений.

1) $x^2 - ax + 4 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=-a$, $C=4$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.
Условие отсутствия корней ($D < 0$) приводит к неравенству:
$a^2 - 16 < 0$
$a^2 < 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $|a| < 4$, что равносильно
$-4 < a < 4$.
Ответ: $a \in (-4; 4)$.

2) $x^2 + (a - 2)x + 25 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=(a - 2)$, $C=25$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a - 2)^2 - 100$.
Условие отсутствия корней ($D < 0$) приводит к неравенству:
$(a - 2)^2 - 100 < 0$
$(a - 2)^2 < 100$
$|a - 2| < 10$
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-10 < a - 2 < 10$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-10 + 2 < a < 10 + 2$
$-8 < a < 12$.
Ответ: $a \in (-8; 12)$.

3) $4,5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=4,5$, $B=-(4a + 3)$, $C=3a$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-(4a + 3))^2 - 4 \cdot 4,5 \cdot (3a) = (4a + 3)^2 - 18 \cdot 3a$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$D = (16a^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3 + 9) - 54a = 16a^2 + 24a + 9 - 54a = 16a^2 - 30a + 9$.
Условие отсутствия корней ($D < 0$) приводит к квадратному неравенству относительно переменной $a$:
$16a^2 - 30a + 9 < 0$.
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $16a^2 - 30a + 9 = 0$.
Найдем дискриминант для этого уравнения (обозначим его $D_a$):
$D_a = (-30)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 900 - 576 = 324 = 18^2$.
Найдем корни $a_1$ и $a_2$:
$a_1 = \frac{-(-30) - 18}{2 \cdot 16} = \frac{30 - 18}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$
$a_2 = \frac{-(-30) + 18}{2 \cdot 16} = \frac{30 + 18}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$.
Графиком функции $y = 16a^2 - 30a + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $a^2$ положителен). Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.
Таким образом, решение неравенства: $\frac{3}{8} < a < \frac{3}{2}$.
Ответ: $a \in (\frac{3}{8}; \frac{3}{2})$.