Страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

413. При каких значениях аргумента значения функции $y = \frac{3}{2}x^2 - 7x + 1$ меньше соответствующих значений функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4?

Для того чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ значения функции $y = \frac{3}{2}x^2 - 7x + 1$ меньше соответствующих значений функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4$, необходимо составить и решить неравенство:

$\frac{3}{2}x^2 - 7x + 1 < -\frac{1}{2}x^2 - 4$

Перенесём все слагаемые из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные:

$\frac{3}{2}x^2 - 7x + 1 + \frac{1}{2}x^2 + 4 < 0$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^2) - 7x + (1 + 4) < 0$

$\frac{4}{2}x^2 - 7x + 5 < 0$

$2x^2 - 7x + 5 < 0$

Мы получили квадратное неравенство. Чтобы его решить, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь вернёмся к неравенству $2x^2 - 7x + 5 < 0$. Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 7x + 5$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=2.5$.

Значения функции $f(x)$ будут меньше нуля (то есть парабола будет находиться ниже оси абсцисс) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(1; 2.5)$.

Ответ: значения функции $y = \frac{3}{2}x^2 - 7x + 1$ меньше соответствующих значений функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4$ при $x \in (1; 2.5)$.

414. Найдите целые решения неравенства:

1) $x^2 + 5x \le 0$;

2) $x^2 - 10 < 0$;

3) $6x^2 + x - 2 \le 0$;

4) $-\frac{1}{4}x^2 + x + 3 > 0$.

1) Решим неравенство $x^2 + 5x \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Неравенство $x^2 + 5x \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-5; 0]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

2) Решим неравенство $x^2 - 10 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 10 = 0$.

$x^2 = 10$, откуда $x_1 = -\sqrt{10}$ и $x_2 = \sqrt{10}$.

Парабола $y = x^2 - 10$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.

Чтобы найти целые решения, оценим значение $\sqrt{10}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$. Приблизительно $\sqrt{10} \approx 3.16$.

Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $(-3.16; 3.16)$.

Целые решения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3) Решим неравенство $6x^2 + x - 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ветви параболы $y = 6x^2 + x - 2$ направлены вверх ($a=6 > 0$), значит, неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решение неравенства: $x \in [-\frac{2}{3}; \frac{1}{2}]$.

Единственное целое число, которое принадлежит этому отрезку, — это 0.

Ответ: 0.

4) Решим неравенство $-\frac{1}{4}x^2 + x + 3 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4x - 12 < 0$.

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-2; 6)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

415. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $20 - 8x - x^2 > 0;$

2) $4x^2 - 15x - 4 < 0?$

1) Решим неравенство $20 - 8x - x^2 > 0$.
Для начала умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 8x - 20 < 0$.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 20 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства функции $y = x^2 + 8x - 20$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 12}{2} = -10$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 8x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Значения функции будут отрицательными (меньше нуля) на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства $x^2 + 8x - 20 < 0$ — это интервал $(-10; 2)$.
Теперь найдем все целые числа, которые находятся в этом интервале. Это числа, большие -10 и меньшие 2:
-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Всего таких чисел 11.
Ответ: 11.

2) Решим неравенство $4x^2 - 15x - 4 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 15x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 15x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 15x - 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решением неравенства является интервал $(-\frac{1}{4}; 4)$ или $(-0.25; 4)$.
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому интервалу. Это числа, большие -0.25 и меньшие 4:
0, 1, 2, 3.
Всего таких чисел 4.
Ответ: 4.

416. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $42 - x^2 - x > 0$;

2) $2x^2 - 3x - 20 < 0$.

1) Чтобы решить неравенство $42 - x^2 - x > 0$, сначала приведем его к стандартному виду. Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 + x - 42 < 0$.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = 6$.
Мы решаем неравенство $x^2 + x - 42 < 0$. Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля находятся между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-7; 6)$.
Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в этот интервал: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Наименьшее из этих чисел — $-6$.
Ответ: -6

2) Решим неравенство $2x^2 - 3x - 20 < 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 20 = 0$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 13}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 13}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Мы решаем неравенство $2x^2 - 3x - 20 < 0$. Графиком функции $y = 2x^2 - 3x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля находятся между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-2.5; 4)$.
Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в этот интервал: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$.
Наименьшее из этих чисел — $-2$.
Ответ: -2

417. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $1,5x^2 - 2x - 2 < 0;$

2) $-2x^2 - 15x - 25 \geq 0.$

1) $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $1,5x^2 - 2x - 2 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичного коэффициента, умножим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 1,5x^2 - 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ ($1,5$) положителен. Неравенство $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\frac{2}{3}; 2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 0, 1. Наибольшее из них - 1.

Ответ: 1

2) $-2x^2 - 15x - 25 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$2x^2 + 15x + 25 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 15x + 25 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 15x + 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 15x + 25 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-5; -2,5]$.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -5, -4, -3. Наибольшее из них - -3.

Ответ: -3

418. Составьте какое-нибудь неравенство, множество решений которого:

1) объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$;

2) промежуток $[-2; 9]$;

3) состоит из одного числа 7.

1) объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$

Требуемое множество решений $x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)$ можно представить в виде совокупности двух строгих неравенств: $x < -4$ или $x > 8$. Такое множество решений характерно для квадратного неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ с положительным старшим коэффициентом ($a > 0$), корни которого равны $-4$ и $8$.

Составим соответствующее квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-4$ и $8$. Используя теорему Виета, можем записать уравнение в виде $(x - x_1)(x - x_2) = 0$, где $x_1 = -4$ и $x_2 = 8$.

Получаем: $(x - (-4))(x - 8) = 0$ $(x + 4)(x - 8) = 0$ $x^2 - 8x + 4x - 32 = 0$ $x^2 - 4x - 32 = 0$

Теперь рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x - 32$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -4$ и $x = 8$. Значения функции положительны ($y > 0$) за пределами корней, то есть при $x < -4$ или $x > 8$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 4x - 32 > 0$ имеет в качестве множества решений объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$.

Ответ: $x^2 - 4x - 32 > 0$.

2) промежуток $[-2; 9]$

Требуемое множество решений $x \in [-2; 9]$ можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le x \le 9$. Такое множество решений характерно для квадратного неравенства вида $ax^2+bx+c \le 0$ с положительным старшим коэффициентом ($a > 0$), корни которого равны $-2$ и $9$.

Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = 9$: $(x - (-2))(x - 9) = 0$ $(x + 2)(x - 9) = 0$ $x^2 - 9x + 2x - 18 = 0$ $x^2 - 7x - 18 = 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 7x - 18$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 9$. Значения функции неположительны ($y \le 0$) между корнями, включая сами корни. То есть, при $-2 \le x \le 9$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 7x - 18 \le 0$ имеет в качестве множества решений промежуток $[-2; 9]$.

Ответ: $x^2 - 7x - 18 \le 0$.

3) состоит из одного числа 7

Нам нужно составить неравенство, решением которого является единственное число $x=7$. Для этого можно использовать выражение, которое всегда неотрицательно и обращается в ноль только при $x = 7$. Таким выражением является квадрат разности $(x - 7)^2$.

Выражение $(x-7)^2$ обладает следующими свойствами:

• $(x-7)^2 > 0$ при $x \ne 7$;
• $(x-7)^2 = 0$ при $x = 7$.

Таким образом, $(x-7)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Рассмотрим неравенство $(x - 7)^2 \le 0$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственная возможность для выполнения этого неравенства — это равенство: $(x - 7)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем: $x - 7 = 0$ $x = 7$

Таким образом, множество решений неравенства $(x - 7)^2 \le 0$ состоит из одного числа 7. Другим примером может служить неравенство с модулем $|x-7| \le 0$, которое также имеет единственное решение $x=7$.

Ответ: $(x - 7)^2 \le 0$.

419. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$;

2) $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$;

4) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x - 2x^2}}$.

1) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Поскольку в исходном неравенстве $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$ коэффициент при $x^2$ отрицательный (a = -1), ветви параболы $y = -x^2 + 3x + 4$ направлены вниз. Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-1; 4]$.

Ответ: $D(y) = [-1; 4]$.

2) $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^2 + 5x - 3 \ge 0$.

Решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Коэффициент при $x^2$ положительный (a = 2), поэтому ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 3$ направлены вверх. Значит, трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -3]$ и $[0,5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [0,5; +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$

Область определения этой функции задается двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Объединив эти условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 + 4x - 12 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ $x_1 \cdot x_2 = -12$ Отсюда корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 12$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 + 4x - 12$ положительно на промежутках вне корней.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

4) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x - 2x^2}}$

Область определения функции определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $6x - 2x^2 > 0$.

Решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения $6x - 2x^2 = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $2x(3 - x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = 6x - 2x^2$ направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-2). Это означает, что выражение принимает положительные значения на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0; 3)$.

Ответ: $D(y) = (0; 3)$.

420. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{2x^2 - 9x - 18}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{15 + 2x - x^2}}$.

1) Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{2x^2 - 9x - 18}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, должно выполняться неравенство:

$2x^2 - 9x - 18 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Квадратичная функция $y = 2x^2 - 9x - 18$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, область определения выражения — это объединение промежутков $(-\infty; -1,5]$ и $[6; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1,5] \cup [6; \infty)$.

2) Для нахождения области определения выражения $\frac{1}{\sqrt{15 + 2x - x^2}}$ необходимо выполнение двух условий: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$15 + 2x - x^2 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 < 0$

Теперь решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Значит, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $(-3; 5)$.

421. Равносильны ли неравенства:

1) $x^2 - 2x - 15 > 0$ и $x^2 - 2x - 15 \geq 0;$

2) $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$ и $\frac{1}{x^2 - x - 20} \leq 0;$

3) $x^2 - 6x + 10 > 0$ и $-x^2 + x - 1 \leq 0;$

4) $x^2 + 2x + 3 < 0$ и $-2x^2 - 4 > 0?$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Проверим каждую пару неравенств.

1) $x^2 - 2x - 15 > 0$ и $x^2 - 2x - 15 \ge 0$

Найдем решение первого неравенства. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 15$ находятся из уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх, и неравенство $x^2 - 2x - 15 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Множество решений: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; \infty)$.

Для второго неравенства $x^2 - 2x - 15 \ge 0$ используется та же парабола. Решение включает в себя концы интервалов, так как неравенство нестрогое. Множество решений: $x \in (-\infty; -3] \cup [5; \infty]$.

Множества решений не совпадают, поскольку второе множество содержит числа $-3$ и $5$, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

2) $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$ и $\frac{1}{x^2 - x - 20} \le 0$

Рассмотрим первое неравенство $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$. Дробь отрицательна, когда ее знаменатель отрицателен, так как числитель $1$ — положительное число. Решаем неравенство $x^2 - x - 20 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому трехчлен отрицателен между корнями. Множество решений: $x \in (-4; 5)$.

Рассмотрим второе неравенство $\frac{1}{x^2 - x - 20} \le 0$. Дробь не может быть равна нулю, поскольку ее числитель не равен нулю. Поэтому это неравенство равносильно строгому неравенству $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$, которое мы уже решили.

Множества решений обоих неравенств совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

3) $x^2 - 6x + 10 > 0$ и $-x^2 + x - 1 \le 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 6x + 10 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, парабола находится полностью выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно. Множество решений: $x \in (-\infty; \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $-x^2 + x - 1 \le 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=-1 < 0$, парабола находится полностью ниже оси абсцисс. Это означает, что выражение $-x^2 + x - 1$ всегда отрицательно. Следовательно, неравенство $-x^2 + x - 1 \le 0$ выполняется для всех действительных чисел. Множество решений: $x \in (-\infty; \infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

4) $x^2 + 2x + 3 < 0$ и $-2x^2 - 4 > 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. Таким образом, неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество, $\emptyset$.

Рассмотрим второе неравенство $-2x^2 - 4 > 0$. Преобразуем его: $-2x^2 > 4$. Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $x^2 < -2$. Квадрат любого действительного числа не может быть меньше отрицательного числа. Это неравенство также не имеет решений. Множество решений — пустое множество, $\emptyset$.

Множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми). Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

422. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - ax + 4 = 0;$

2) $x^2 + (a - 2)x + 25 = 0;$

3) $4,5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0?$

Квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D=B^2-4AC$ строго меньше нуля ($D<0$). Мы применим это правило для каждого из данных уравнений.

1) $x^2 - ax + 4 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=-a$, $C=4$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.
Условие отсутствия корней ($D < 0$) приводит к неравенству:
$a^2 - 16 < 0$
$a^2 < 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $|a| < 4$, что равносильно
$-4 < a < 4$.
Ответ: $a \in (-4; 4)$.

2) $x^2 + (a - 2)x + 25 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=1$, $B=(a - 2)$, $C=25$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a - 2)^2 - 100$.
Условие отсутствия корней ($D < 0$) приводит к неравенству:
$(a - 2)^2 - 100 < 0$
$(a - 2)^2 < 100$
$|a - 2| < 10$
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-10 < a - 2 < 10$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-10 + 2 < a < 10 + 2$
$-8 < a < 12$.
Ответ: $a \in (-8; 12)$.

3) $4,5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=4,5$, $B=-(4a + 3)$, $C=3a$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-(4a + 3))^2 - 4 \cdot 4,5 \cdot (3a) = (4a + 3)^2 - 18 \cdot 3a$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$D = (16a^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3 + 9) - 54a = 16a^2 + 24a + 9 - 54a = 16a^2 - 30a + 9$.
Условие отсутствия корней ($D < 0$) приводит к квадратному неравенству относительно переменной $a$:
$16a^2 - 30a + 9 < 0$.
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $16a^2 - 30a + 9 = 0$.
Найдем дискриминант для этого уравнения (обозначим его $D_a$):
$D_a = (-30)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 900 - 576 = 324 = 18^2$.
Найдем корни $a_1$ и $a_2$:
$a_1 = \frac{-(-30) - 18}{2 \cdot 16} = \frac{30 - 18}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$
$a_2 = \frac{-(-30) + 18}{2 \cdot 16} = \frac{30 + 18}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$.
Графиком функции $y = 16a^2 - 30a + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $a^2$ положителен). Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.
Таким образом, решение неравенства: $\frac{3}{8} < a < \frac{3}{2}$.
Ответ: $a \in (\frac{3}{8}; \frac{3}{2})$.

423. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 8bx + 15b + 1 = 0;$

2) $2x^2 + 2(b - 6)x + b - 2 = 0?$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант (D) строго больше нуля. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

1) $x^2 - 8bx + 15b + 1 = 0;$
Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Определим его коэффициенты:
$a = 1$
коэффициент при $x$: $-8b$
свободный член: $15b + 1$
Вычислим дискриминант $D$ для этого уравнения:
$D = (-8b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15b + 1) = 64b^2 - 60b - 4$
Условие наличия двух различных действительных корней — $D > 0$. Составим и решим неравенство:
$64b^2 - 60b - 4 > 0$
Для упрощения разделим обе части неравенства на 4:
$16b^2 - 15b - 1 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $16b^2 - 15b - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант этого уравнения (относительно $b$):
$D_b = (-15)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$
Найдем корни для $b$:
$b_1 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{15 - 17}{32} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16}$
$b_2 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{15 + 17}{32} = \frac{32}{32} = 1$
Парабола $y = 16b^2 - 15b - 1$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $b^2$ положителен ($16 > 0$). Следовательно, неравенство $16b^2 - 15b - 1 > 0$ выполняется, когда значения $b$ находятся вне интервала между корнями.
$b < -\frac{1}{16}$ или $b > 1$.
Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty)$.

2) $2x^2 + 2(b - 6)x + b - 2 = 0?$
Определим коэффициенты этого квадратного уравнения:
$a = 2$
коэффициент при $x$: $2(b - 6)$
свободный член: $b - 2$
Поскольку коэффициент при $x$ является четным, для удобства вычислений можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = k^2 - ac$, где $k$ — это половина коэффициента при $x$.
$k = \frac{2(b-6)}{2} = b - 6$
Условие $D > 0$ эквивалентно условию $D/4 > 0$.
$D/4 = (b - 6)^2 - 2 \cdot (b - 2) = (b^2 - 12b + 36) - (2b - 4) = b^2 - 12b + 36 - 2b + 4 = b^2 - 14b + 40$
Решим неравенство $D/4 > 0$:
$b^2 - 14b + 40 > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 14b + 40 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 40. Отсюда легко находим корни:
$b_1 = 4$
$b_2 = 10$
Парабола $y = b^2 - 14b + 40$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $b^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, неравенство выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.
$b < 4$ или $b > 10$.
Ответ: $b \in (-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.