Страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

424. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0, \\ x + 4 \ge 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 \le 0, \\ 6x - x^2 < 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ x > 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 6$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), то неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-2; 3]$.

Второе неравенство системы: $x > 0$. Его решение: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-2; 3] \cap (0; +\infty)$.

Общим решением будет интервал $x \in (0; 3]$.

Ответ: $(0; 3]$

2) $ \begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0, \\ x + 4 \ge 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x^2 - 11x - 6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 11x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169$.

Корни: $x_1 = \frac{11 - 13}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{11 + 13}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 11x - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 11x - 6 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [6; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Решение: $x \in [-4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty; -0.5] \cup [6; +\infty)$ и $[-4; +\infty)$.

Пересечение первого промежутка $(-\infty; -0.5]$ с $[-4; +\infty)$ дает $[-4; -0.5]$.

Пересечение второго промежутка $[6; +\infty)$ с $[-4; +\infty)$ дает $[6; +\infty)$.

Объединяем полученные результаты: $x \in [-4; -0.5] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $[-4; -0.5] \cup [6; +\infty)$

3) $ \begin{cases} x^2 - 9x - 10 \le 0, \\ 6x - x^2 < 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 9x - 10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 9x - 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 10]$.

Решим второе неравенство: $6x - x^2 < 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 6x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) > 0$.

Корни уравнения $x(x-6)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=6$.

Ветви параболы $y=x^2-6x$ направлены вверх, поэтому неравенство $x(x-6)>0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-1; 10] \cap ((-\infty; 0) \cup (6; +\infty))$.

Пересечение $[-1; 10]$ с $(-\infty; 0)$ дает $[-1; 0)$.

Пересечение $[-1; 10]$ с $(6; +\infty)$ дает $(6; 10]$.

Объединяем полученные результаты: $x \in [-1; 0) \cup (6; 10]$.

Ответ: $[-1; 0) \cup (6; 10]$

4) $ \begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 12 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 12 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-5; 2)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -3] \cup [4; +\infty)) \cap (-5; 2)$.

Пересечение $(-\infty; -3]$ с $(-5; 2)$ дает $(-5; -3]$.

Пересечение $[4; +\infty)$ с $(-5; 2)$ является пустым множеством.

Следовательно, решением системы является $x \in (-5; -3]$.

Ответ: $(-5; -3]$

425. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -6x^2 + 13x - 5 \le 0, \\ 6 - 2x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 7x - 18 < 0, \\ 5x - x^2 \le 0. \end{cases}$

Решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $-6x^2 + 13x - 5 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-6x^2 + 13x - 5 = 0$. Для удобства умножим уравнение на $-1$:

$6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = -6x^2 + 13x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ равен $-6 < 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

Второе неравенство: $6 - 2x > 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем $2x$ в правую часть:

$6 > 2x$

$3 > x$, или $x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 3)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)) \cap (-\infty; 3)$.

На числовой прямой это будет выглядеть как пересечение двух множеств. Первое множество – это все числа до $\frac{1}{2}$ включительно и от $\frac{5}{3}$ включительно. Второе – все числа до $3$.

Пересечение дает нам два промежутка:

1. $(-\infty; \frac{1}{2}] \cap (-\infty; 3) = (-\infty; \frac{1}{2}]$

2. $[\frac{5}{3}; +\infty) \cap (-\infty; 3) = [\frac{5}{3}; 3)$

Объединяем эти промежутки и получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$.

Решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 - 7x - 18 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $-18$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 9$.

Проверим через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm 11}{2}$, то есть $x_1 = \frac{7 - 11}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{7 + 11}{2} = 9$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Неравенство $< 0$ выполняется на промежутке между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2; 9)$.

Второе неравенство: $5x - x^2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $5x - x^2 = 0$.

$x(5 - x) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = 5x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Неравенство $\le 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-2; 9) \cap ((-\infty; 0] \cup [5; +\infty))$.

Ищем общие точки для интервала $(-2; 9)$ и объединения $(-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

1. Пересечение $(-2; 9)$ с $(-\infty; 0]$: $x \in (-2; 0]$.

2. Пересечение $(-2; 9)$ с $[5; +\infty)$: $x \in [5; 9)$.

Объединяя эти два полученных интервала, получаем окончательное решение системы.

Ответ: $x \in (-2; 0] \cup [5; 9)$.

426. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} -2x^2 - 5x + 18 \geq 0, \\ x^2 + 4x - 5 \leq 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \leq 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x^2 - 5x + 18 \ge 0, \\ x^2 + 4x - 5 \le 0. \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство: $-2x^2 - 5x + 18 \ge 0$.

Для удобства умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^2 + 5x - 18 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$;
$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Парабола $y = 2x^2 + 5x - 18$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $2x^2 + 5x - 18 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-4.5, 2]$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 + 4x - 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5, 1]$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-4.5, 2] \cap [-5, 1]$.

Общим решением является отрезок $[-4.5, 1]$.

Нас интересуют целые решения на этом отрезке. Перечислим их: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-(-(\sqrt{5} - 3)) = \sqrt{5} - 3$, а их произведение равно $-3\sqrt{5}$.
Подбором находим корни: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5}$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Так как $-3 < \sqrt{5}$, решение первого неравенства: $x \in [-3, \sqrt{5}]$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x + 1) > 0$.
Корнями уравнения $x(x+1) = 0$ являются $x=0$ и $x=-1$.

Парабола $y = x^2 + x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $> 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-3, \sqrt{5}] \cap ((-\infty, -1) \cup (0, \infty))$.

Это соответствует объединению двух промежутков: $[-3, -1) \cup (0, \sqrt{5}]$.

Теперь выберем целые решения из этих промежутков. Учтем, что $2 < \sqrt{5} < 3$ (так как $4 < 5 < 9$).

Целые числа из промежутка $[-3, -1)$: -3, -2.
Целые числа из промежутка $(0, \sqrt{5}]$: 1, 2.

Объединяя найденные целые числа, получаем окончательный результат.

Ответ: -3, -2, 1, 2.

427. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x+1}$;

2) $y = \frac{x-3}{\sqrt{18 + 3x - x^2}} + \frac{8}{x-5}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{9}{x^2 - 81}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 7x - 3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x+1}}$.

1)

Область определения функции $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x + 1}$ задается системой из двух условий:

1. Подрадикальное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень находится в знаменателе, деление на ноль недопустимо): $x^2 - 4x - 12 > 0$.
2. Подрадикальное выражение во втором слагаемом должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$.

Для нахождения области определения решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 > 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 12 > 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, квадратный трехчлен положителен вне интервала между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (6; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 \ge 0$.
$x \ge -1$. В виде промежутка: $x \in [-1; +\infty)$.

Найдем пересечение полученных решений: $( (-\infty; -2) \cup (6; +\infty) ) \cap [-1; +\infty)$.
Промежуток $[-1; +\infty)$ не имеет общих точек с $(-\infty; -2)$.
Пересечение $[-1; +\infty)$ и $(6; +\infty)$ есть промежуток $(6; +\infty)$.
Следовательно, область определения функции — это интервал $(6; +\infty)$.

Ответ: $(6; +\infty)$.

2)

Область определения функции $y = \frac{x - 3}{\sqrt{18 + 3x - x^2}} + \frac{8}{x - 5}$ задается системой условий:

1. Подрадикальное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $18 + 3x - x^2 > 0$.
2. Знаменатель второй дроби не должен равняться нулю: $x - 5 \ne 0$.

Решим систему: $ \begin{cases} 18 + 3x - x^2 > 0 \\ x - 5 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $18 + 3x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 3x - 18 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Ветви параболы $y=x^2 - 3x - 18$ направлены вверх, поэтому квадратный трехчлен отрицателен между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-3; 6)$.

Из второго условия $x - 5 \ne 0$ получаем $x \ne 5$.

Теперь объединим оба условия: $x$ должен принадлежать интервалу $(-3; 6)$ и при этом не равняться 5. Для этого нужно исключить точку 5 из данного интервала.
Получаем объединение двух интервалов: $(-3; 5) \cup (5; 6)$.

Ответ: $(-3; 5) \cup (5; 6)$.

3)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{9}{x^2 - 81}$ задается системой условий:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 5x - 14 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 81 \ne 0$.

Решим систему: $ \begin{cases} x^2 - 5x - 14 \ge 0 \\ x^2 - 81 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 14 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 14$ направлены вверх, поэтому квадратный трехчлен неотрицателен на лучах вне корней, включая сами корни.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$.

Из второго условия $x^2 - 81 \ne 0$ получаем $x^2 \ne 81$, то есть $x \ne 9$ и $x \ne -9$.

Теперь исключим значения $x = -9$ и $x = 9$ из найденного множества $(-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$.
Значение $x = -9$ входит в промежуток $(-\infty; -2]$, поэтому его нужно исключить.
Значение $x = 9$ входит в промежуток $[7; +\infty)$, поэтому его также исключаем.
В результате получаем: $(-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty)$.

4)

Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 7x - 3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x + 1}}$ задается системой условий:

1. Подрадикальное выражение в знаменателе первой дроби должно быть строго положительным: $6 - 7x - 3x^2 > 0$.
2. Подрадикальное выражение в знаменателе второй дроби также должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$.

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6 - 7x - 3x^2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $6 - 7x - 3x^2 > 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $3x^2 + 7x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 7x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 - 11}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 7x - 6$ направлены вверх, поэтому квадратный трехчлен отрицателен между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-3; \frac{2}{3})$.

Решим второе неравенство: $x + 1 > 0$.
$x > -1$. В виде промежутка: $x \in (-1; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-3; \frac{2}{3}) \cap (-1; +\infty)$.
Общим для обоих промежутков является интервал $(-1; \frac{2}{3})$.

Ответ: $(-1; \frac{2}{3})$.

428. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 - 4x}}$

2) $y = \frac{x + 5}{\sqrt{35 + 2x - x^2}} + \frac{x - 1}{|x| - 6}$

1) Область определения функции $y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 - 4x}}$ находится из системы неравенств. Для того чтобы функция была определена, должны выполняться два условия:

1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $20 + 4x - 3x^2 \ge 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень должен быть определен и знаменатель не может быть равен нулю): $8 - 4x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 20 + 4x - 3x^2 \ge 0 \\ 8 - 4x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $20 + 4x - 3x^2 \ge 0$. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 4x - 20 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x - 20 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 4x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x - 20 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-2, \frac{10}{3}]$.

Теперь решим второе неравенство: $8 - 4x > 0$.

$8 > 4x$

$2 > x$, или $x < 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2)$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо найти пересечение решений обоих неравенств: $[-2, \frac{10}{3}] \cap (-\infty, 2)$.

Пересечением этих двух промежутков является интервал $[-2, 2)$.

Ответ: $x \in [-2, 2)$.

2) Область определения функции $y = \frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^2}} + \frac{x-1}{|x|-6}$ находится из системы условий:

1. Выражение под корнем в знаменателе первого слагаемого должно быть строго положительным: $35 + 2x - x^2 > 0$.

2. Знаменатель второго слагаемого не должен быть равен нулю: $|x| - 6 \neq 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} 35 + 2x - x^2 > 0 \\ |x| - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $35 + 2x - x^2 > 0$. Умножим его на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 2x - 35 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -35$

Корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 35$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 35 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-5, 7)$.

Теперь решим второе условие: $|x| - 6 \neq 0$.

$|x| \neq 6$.

Это означает, что $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо объединить полученные условия: найти все значения $x$ из интервала $(-5, 7)$, которые не равны 6 и -6.

Число -6 не принадлежит интервалу $(-5, 7)$, поэтому это ограничение не влияет на итоговый результат.

Число 6 принадлежит интервалу $(-5, 7)$, поэтому его необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции представляет собой интервал от -5 до 7 с "выколотой" точкой 6. Это можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (-5, 6) \cup (6, 7)$.

429. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 8|x| - 33 < 0;$

2) $8x^2 + 7|x| - 1 \ge 0.$

1) $x^2 - 8|x| - 33 < 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Исходное неравенство принимает вид:

$t^2 - 8t - 33 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 8t - 33 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = 11$

Парабола $y = t^2 - 8t - 33$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, неравенство $t^2 - 8t - 33 < 0$ выполняется между корнями:

$-3 < t < 11$

Теперь учтем условие $t \ge 0$. Пересечение множеств $(-3, 11)$ и $[0, +\infty)$ дает:

$0 \le t < 11$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = |x|$:

$0 \le |x| < 11$

Неравенство $|x| \ge 0$ верно для любого действительного числа $x$. Остается решить неравенство $|x| < 11$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-11 < x < 11$

Таким образом, множество решений — это интервал $(-11, 11)$.

Ответ: $(-11, 11)$

2) $8x^2 + 7|x| - 1 \ge 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, произведем замену переменной: $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Неравенство преобразуется к виду:

$8t^2 + 7t - 1 \ge 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $8t^2 + 7t - 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Парабола $y = 8t^2 + 7t - 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $8t^2 + 7t - 1 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами корней (включая сами корни):

$t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{8}$

Теперь учтем ограничение $t \ge 0$. Совокупность ($t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{8}$) вместе с условием $t \ge 0$ дает нам $t \ge \frac{1}{8}$, так как промежуток $t \le -1$ не содержит неотрицательных чисел.

Выполняем обратную замену $t = |x|$:

$|x| \ge \frac{1}{8}$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge \frac{1}{8}$ или $x \le -\frac{1}{8}$

Множество решений представляет собой объединение двух лучей: $(-\infty, -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}, +\infty)$

430. Найдите множество решений неравенства:

1) $5x^2 - 7|x| + 2 \ge 0;$

2) $x^2 + 10|x| - 24 \le 0.$

1) $5x^2 - 7|x| + 2 \ge 0$
Данное неравенство является четной функцией относительно $x$, так как $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
Получим квадратное неравенство относительно $y$:
$5y^2 - 7y + 2 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5y^2 - 7y + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Парабола $f(y) = 5y^2 - 7y + 2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $y^2$ положителен). Следовательно, неравенство $5y^2 - 7y + 2 \ge 0$ выполняется, когда $y$ находится вне интервала между корнями, то есть $y \le \frac{2}{5}$ или $y \ge 1$.
Вернемся к замене, учитывая, что $y \ge 0$:
1. $y \le \frac{2}{5}$ превращается в $0 \le y \le \frac{2}{5}$.
$0 \le |x| \le \frac{2}{5}$. Это неравенство равносильно $|x| \le \frac{2}{5}$, что дает решение $-\frac{2}{5} \le x \le \frac{2}{5}$.
2. $y \ge 1$.
$|x| \ge 1$. Это неравенство распадается на два: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговое множество решений.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{2}{5}; \frac{2}{5}] \cup [1; +\infty)$.

2) $x^2 + 10|x| - 24 \le 0$
Так же, как и в предыдущем задании, используем свойство $x^2 = |x|^2$ и сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.
Получим квадратное неравенство:
$y^2 + 10y - 24 \le 0$
Найдем корни уравнения $y^2 + 10y - 24 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$y_2 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Парабола $f(y) = y^2 + 10y - 24$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y^2 + 10y - 24 \le 0$ выполняется, когда $y$ находится между корнями: $-12 \le y \le 2$.
Учитывая условие $y \ge 0$, получаем систему неравенств:
$\begin{cases} -12 \le y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является $0 \le y \le 2$.
Выполним обратную замену:
$0 \le |x| \le 2$.
Неравенство $|x| \ge 0$ выполняется для любого $x$. Остается решить неравенство $|x| \le 2$.
Это неравенство равносильно $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.

431. Решите неравенство:

1) $ |x| \cdot (x^2 + 3x - 10) < 0; $

2) $ \sqrt{x(x^2 + 2x - 8)} \leq 0; $

3) $ (x - 2)^2 (x^2 - 8x - 9) < 0; $

4) $ (x + 5)^2 (x^2 - 2x - 15) > 0; $

5) $ \frac{x^2 + 7x - 8}{(x - 4)^2} \geq 0; $

6) $ \frac{x^2 + 10x - 11}{(x + 3)^2} \leq 0. $

1) $|x| \cdot (x^2 + 3x - 10) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Множитель $|x|$ является неотрицательным при любом значении $x$, то есть $|x| \ge 0$.

Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы $|x|$ был строго больше нуля, а второй множитель был строго меньше нуля.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} |x| > 0 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства системы следует, что $x \ne 0$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 < 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -10$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 10$ ветвями направлена вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства $x^2 + 3x - 10 < 0$ есть интервал $(-5, 2)$.

Теперь объединим оба условия системы: $x \in (-5, 2)$ и $x \ne 0$.

Исключая точку $x=0$ из интервала $(-5, 2)$, получаем решение исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-5, 0) \cup (0, 2)$.

2) $\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) \le 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Множитель $\sqrt{x}$ также является неотрицательным для всех $x$ из ОДЗ. Неравенство $\le 0$ выполняется в двух случаях:

Случай 1: Выражение равно нулю.

$\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) = 0$

Это возможно, если $\sqrt{x} = 0$ или $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Из $\sqrt{x} = 0$ следует $x=0$. Это значение входит в ОДЗ.

Из $x^2 + 2x - 8 = 0$ по теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Корень $x_1 = -4$ не входит в ОДЗ ($x \ge 0$), а корень $x_2 = 2$ входит.

Таким образом, решениями являются $x=0$ и $x=2$.

Случай 2: Выражение строго меньше нуля.

$\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) < 0$

Так как $\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$, это неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 + 2x - 8 < 0 \end{cases} $$

Решение неравенства $x^2 + 2x - 8 < 0$ (или $(x+4)(x-2) < 0$) есть интервал $(-4, 2)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 0$: $x \in (0, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x \in \{0, 2\} \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

3) $(x - 2)^2(x^2 - 8x - 9) < 0$

Множитель $(x-2)^2$ является неотрицательным при любом значении $x$, то есть $(x-2)^2 \ge 0$.

Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-2)^2$ был строго положителен, а второй множитель был строго отрицателен.

Это равносильно системе:

$$ \begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ x^2 - 8x - 9 < 0 \end{cases} $$

Первое неравенство $(x-2)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=2$. То есть $x \ne 2$.

Решим второе неравенство $x^2 - 8x - 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 8x - 9$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x - 9 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1, 9)$.

Теперь объединим условия системы: $x \in (-1, 9)$ и $x \ne 2$.

Исключаем точку $x=2$ из интервала $(-1, 9)$.

Ответ: $x \in (-1, 2) \cup (2, 9)$.

4) $(x + 5)^2(x^2 - 2x - 15) > 0$

Множитель $(x+5)^2$ является неотрицательным при любом значении $x$.

Чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть строго положительны.

Это равносильно системе:

$$ \begin{cases} (x+5)^2 > 0 \\ x^2 - 2x - 15 > 0 \end{cases} $$

Первое неравенство $(x+5)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=-5$. То есть $x \ne -5$.

Решим второе неравенство $x^2 - 2x - 15 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 15 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.

Теперь объединим условия системы: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$ и $x \ne -5$.

Точка $x=-5$ находится в интервале $(-\infty, -3)$, поэтому мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup (5, +\infty)$.

5) $\frac{x^2 + 7x - 8}{(x - 4)^2} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $(x-4)^2 \ne 0$, откуда $x \ne 4$.

Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \ne 4$. Поэтому знак дроби зависит только от знака числителя.

Неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 + 7x - 8 \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases} $$

Решим неравенство $x^2 + 7x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Парабола $y = x^2 + 7x - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + 7x - 8 \ge 0$ выполняется при $x \le -8$ или $x \ge 1$. То есть $x \in (-\infty, -8] \cup [1, +\infty)$.

Теперь учтем условие $x \ne 4$. Точка $x=4$ находится в промежутке $[1, +\infty)$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [1, 4) \cup (4, +\infty)$.

6) $\frac{x^2 + 10x - 11}{(x + 3)^2} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $(x+3)^2 \ne 0$, откуда $x \ne -3$.

Знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен при $x \ne -3$. Поэтому для выполнения неравенства $\le 0$ необходимо, чтобы числитель был меньше или равен нулю.

Неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 + 10x - 11 \le 0 \\ x \ne -3 \end{cases} $$

Решим неравенство $x^2 + 10x - 11 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 10x - 11 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -11$.

Парабола $y = x^2 + 10x - 11$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + 10x - 11 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни): $x \in [-11, 1]$.

Теперь учтем условие $x \ne -3$. Точка $x=-3$ находится в отрезке $[-11, 1]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-11, -3) \cup (-3, 1]$.

432. Решите неравенство:

1) $|x| \cdot (x^2 - 5x + 6) > 0;$

2) $\sqrt{x(x^2 + 6x - 40)} > 0;$

3) $(x + 3)^2(x^2 - x - 6) > 0;$

4) $\frac{3x^2 - 8x - 3}{(x - 1)^2} \le 0.$

1) $|x| \cdot (x^2 - 5x + 6) > 0$

Произведение двух множителей положительно. Первый множитель $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x| > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $|x| > 0$ следует, что $x \neq 0$.

Решим второе неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$. Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне корней, то есть при $x < 2$ или $x > 3$. Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Теперь объединим это решение с условием $x \neq 0$. Точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-\infty, 2)$, поэтому ее необходимо исключить. Получаем решение:

$x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

2) $\sqrt{x}(x^2 + 6x - 40) > 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Поскольку неравенство строгое, произведение не может быть равно нулю. Это означает, что $\sqrt{x} \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. Объединяя с ОДЗ, получаем $x > 0$.

При $x > 0$ множитель $\sqrt{x}$ всегда положителен. Значит, чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положителен:

$x^2 + 6x - 40 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 40 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 14}{2}$.

$x_1 = \frac{-6 - 14}{2} = -10$, $x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4$.

Парабола $y = x^2 + 6x - 40$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 6x - 40 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -10) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 0$.

$\left((-\infty, -10) \cup (4, \infty)\right) \cap (0, \infty) = (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

3) $(x + 3)^2(x^2 - x - 6) > 0$

Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго больше нуля, необходимо, чтобы $(x + 3)^2 \neq 0$ и второй множитель был положителен.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (x + 3)^2 > 0 \\ x^2 - x - 6 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Решим второе неравенство $x^2 - x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Теперь учтем условие $x \neq -3$. Точка $x = -3$ находится в интервале $(-\infty, -2)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (3, \infty)$.

4) $\frac{3x^2 - 8x - 3}{(x - 1)^2} \le 0$

Определим область допустимых значений. Знаменатель не должен быть равен нулю: $(x - 1)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

При всех $x \neq 1$ знаменатель $(x - 1)^2$ строго положителен. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - 8x - 3 \le 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Решим неравенство $3x^2 - 8x - 3 \le 0$. Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 3 = 0$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Парабола $y = 3x^2 - 8x - 3$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая сами корни): $x \in [-\frac{1}{3}, 3]$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 1$. Точка $x=1$ лежит внутри отрезка $[-\frac{1}{3}, 3]$, поэтому ее надо исключить ("выколоть").

Получаем решение: $x \in [-\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 3]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 3]$.