Страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

433. Решите неравенство:

1) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0;$

2) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0;$

3) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0;$

4) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x - 15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. С помощью дискриминанта $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$ находим корни $x_1 = \frac{2-8}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{2+8}{2} = 5$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 15 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
Произведение двух множителей строго больше нуля, только если оба множителя строго положительны (так как квадратный корень не может быть отрицательным).
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства системы следует, что $x^2 - 2x - 15 > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.
Из первого неравенства системы получаем $x > -4$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in ((- \infty, -3) \cup (5, +\infty)) \cap (-4, +\infty)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-4, -3) \cup (5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4, -3) \cup (5, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0$.
ОДЗ, как и в предыдущем пункте: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
В области допустимых значений множитель $\sqrt{x^2 - 2x - 15}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Поэтому, чтобы произведение было неотрицательным, достаточно, чтобы первый множитель был неотрицателен, то есть $x + 4 \ge 0$, что означает $x \ge -4$.
Также необходимо учесть точки, где $\sqrt{x^2 - 2x - 15} = 0$, то есть $x=-3$ и $x=5$. В этих точках неравенство $0 \ge 0$ выполняется.
Найдем пересечение ОДЗ и условия $x \ge -4$:
$x \in ((-\infty, -3] \cup [5, +\infty)) \cap [-4, +\infty)$.
Пересечением является множество $[-4, -3] \cup [5, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-4, -3] \cup [5, +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
Произведение будет строго отрицательным, если один множитель положителен, а другой отрицателен. Так как $\sqrt{x^2 - 2x - 15}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а множитель $(x+4)$ — строго отрицательным.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x + 4 < 0 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x < -4$.
Из второго неравенства $x^2 - 2x - 15 > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.
Найдем пересечение решений системы: $x \in ((-\infty, -3) \cup (5, +\infty)) \cap (-\infty, -4)$.
Пересечением является интервал $(-\infty, -4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

4) Решим неравенство $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \le 0$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.
Неравенство выполняется в двух случаях: когда произведение равно нулю или когда оно меньше нуля.
1) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю (и при этом $x$ входит в ОДЗ):
$x + 4 = 0 \implies x = -4$. Это значение входит в ОДЗ.
$\sqrt{x^2 - 2x - 15} = 0 \implies x = -3$ или $x = 5$. Эти значения входят в ОДЗ.
Таким образом, числа $\{-4, -3, 5\}$ являются решениями.
2) Произведение меньше нуля. Это неравенство мы решили в пункте 3. Его решение: $x \in (-\infty, -4)$.
Объединяя решения из пунктов 1) и 2), получаем:
$(-\infty, -4) \cup \{-4, -3, 5\} = (-\infty, -4] \cup \{-3, 5\}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup \{-3; 5\}$.

434. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$;

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \geq 0$;

3) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$;

4) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \leq 0$.

Для решения всех четырех неравенств сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $\sqrt{14+5x-x^2}$ должно быть неотрицательным:$14+5x-x^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на $-1$ и поменяем знак на противоположный:$x^2 - 5x - 14 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14$, решив уравнение $x^2 - 5x - 14 = 0$.Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.$x_2 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Графиком функции y = $x^2 - 5x - 14$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.

1) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0$

Произведение двух множителей положительно. Так как множитель $\sqrt{14+5x-x^2}$ не может быть отрицательным, для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, а значит, и второй множитель $(x-3)$ должен быть строго положителен.

Таким образом, неравенство равносильно системе:$\begin{cases} 14+5x-x^2 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства системы: $x \in (-2, 7)$.Решение второго неравенства: $x > 3$.

Пересечением множеств решений $x \in (-2, 7)$ и $x \in (3, \infty)$ является интервал $(3, 7)$.

Ответ: $x \in (3, 7)$.

2) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \ge 0$

Неравенство выполняется, если выражение равно нулю или если оно строго положительно.

Случай 1: Выражение равно нулю.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} = 0$.Это верно, если $x-3=0$ (то есть $x=3$) или $\sqrt{14+5x-x^2}=0$ (то есть $x=-2$ или $x=7$).Таким образом, числа $-2, 3, 7$ являются решениями.

Случай 2: Выражение строго положительно.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0$.Как мы нашли в пункте 1), решением является интервал $(3, 7)$.

Объединив решения обоих случаев, получаем множество $\{ -2, 3, 7 \} \cup (3, 7)$, что равно $\{ -2 \} \cup [3, 7]$.

Ответ: $x \in \{ -2 \} \cup [3, 7]$.

3) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} < 0$

Произведение двух множителей отрицательно. Так как множитель $\sqrt{14+5x-x^2}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положителен, а второй множитель $(x-3)$ должен быть строго отрицателен.

Таким образом, неравенство равносильно системе:$\begin{cases} 14+5x-x^2 > 0 \\ x-3 < 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 7)$.Решение второго неравенства: $x < 3$.

Пересечением множеств решений $x \in (-2, 7)$ и $x \in (-\infty, 3)$ является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

4) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \le 0$

Неравенство выполняется, если выражение равно нулю или если оно строго отрицательно.

Случай 1: Выражение равно нулю.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} = 0$.Как мы нашли в пункте 2), это происходит при $x = -2, 3, 7$.

Случай 2: Выражение строго отрицательно.$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} < 0$.Как мы нашли в пункте 3), решением является интервал $(-2, 3)$.

Объединив решения обоих случаев, получаем множество $\{ -2, 3, 7 \} \cup (-2, 3)$, что равно $[-2, 3] \cup \{ 7 \}$.

Ответ: $x \in [-2, 3] \cup \{ 7 \}$.

435. При каких значениях $a$ данное неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$:

1) $x^2 - 4x + a > 0;$

2) $x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2 \ge 0;$

3) $-\frac{1}{4}x^2 + 5ax - 9a^2 - 8a < 0;$

4) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0?$

1) Дано неравенство $x^2 - 4x + a > 0$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 4x + a$. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$, необходимо, чтобы вся парабола находилась выше оси абсцисс. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$ не должно иметь действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательность дискриминанта ($D < 0$).

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

Решим неравенство $D < 0$:

$16 - 4a < 0$

$16 < 4a$

$a > 4$

Таким образом, данное неравенство выполняется для всех действительных $x$ при $a > 4$.

Ответ: $a > 4$.

2) Дано неравенство $x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2 \ge 0$.

Левая часть неравенства — это квадратичная функция $f(x) = x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2$. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх. Чтобы неравенство $f(x) \ge 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна находиться выше оси абсцисс или касаться её. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение может иметь не более одного действительного корня. Условием для этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - a - a^2) = (a^2 - 2a + 1) - 4 + 4a + 4a^2 = 5a^2 + 2a - 3$.

Решим неравенство $D \le 0$ относительно переменной $a$:

$5a^2 + 2a - 3 \le 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $5a^2 + 2a - 3 = 0$.

$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 \pm 8}{10}$.

$a_1 = \frac{-2 - 8}{10} = -1$.

$a_2 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Парабола $y = 5a^2 + 2a - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $5a^2 + 2a - 3 \le 0$ выполняется для значений $a$, находящихся между корнями (включая сами корни).

$-1 \le a \le \frac{3}{5}$.

Ответ: $a \in [-1; \frac{3}{5}]$.

3) Дано неравенство $-\frac{1}{4}x^2 + 5ax - 9a^2 - 8a < 0$.

Левая часть — квадратичная функция $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 5ax - 9a^2 - 8a$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4}$ (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз. Чтобы неравенство $f(x) < 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна быть полностью расположена ниже оси абсцисс. Это значит, что у нее не должно быть действительных корней, то есть дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (5a)^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{4}) \cdot (-9a^2 - 8a) = 25a^2 + 1 \cdot (-9a^2 - 8a) = 25a^2 - 9a^2 - 8a = 16a^2 - 8a$.

Решим неравенство $D < 0$:

$16a^2 - 8a < 0$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$8a(2a - 1) < 0$.

Корни уравнения $8a(2a - 1) = 0$ равны $a = 0$ и $a = \frac{1}{2}$. График функции $y = 16a^2 - 8a$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

$0 < a < \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{2})$.

4) Дано неравенство $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0$.

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 1 = 0 \implies a = 1$.

Подставим $a = 1$ в исходное неравенство:

$(1 - 1)x^2 - (1 + 1)x + 1 + 1 > 0$

$0 \cdot x^2 - 2x + 2 > 0$

$-2x + 2 > 0$

$-2x > -2$

$x < 1$

Это неравенство выполняется не для всех действительных значений $x$. Следовательно, $a = 1$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 1$).

В этом случае неравенство является квадратичным. Для того чтобы оно выполнялось для всех $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, то есть коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a - 1 > 0 \implies a > 1$.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-(a + 1))^2 - 4(a - 1)(a + 1) = (a + 1)^2 - 4(a^2 - 1) = (a^2 + 2a + 1) - (4a^2 - 4) = -3a^2 + 2a + 5$.

Решим неравенство $D < 0$:

$-3a^2 + 2a + 5 < 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$3a^2 - 2a - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $3a^2 - 2a - 5 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{2 \pm 8}{6}$.

$a_1 = \frac{2 - 8}{6} = -1$.

$a_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 3a^2 - 2a - 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $3a^2 - 2a - 5 > 0$ выполняется при $a < -1$ или $a > \frac{5}{3}$.

Теперь объединим полученное решение с условием $a > 1$. Нам нужно найти пересечение множеств $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$ и $a \in (1; +\infty)$.

Пересечением этих интервалов является $a > \frac{5}{3}$.

Ответ: $a > \frac{5}{3}$.

436. При каких значениях a не имеет решений неравенство:

1) $-x^2 + 6x - a > 0;$

2) $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0;$

3) $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0?$

1) Дано неравенство $-x^2 + 6x - a > 0$. Это квадратичное неравенство. График функции $y = -x^2 + 6x - a$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$). Неравенство требует найти значения $x$, при которых парабола находится выше оси абсцисс ($y > 0$). Чтобы это неравенство не имело решений, график функции должен полностью находиться под осью абсцисс или касаться её, то есть для всех $x$ должно выполняться условие $-x^2 + 6x - a \le 0$. Это возможно только в том случае, если соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + 6x - a = 0$ имеет не более одного действительного корня. Условием этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$). Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-1)(-a) = 36 - 4a$. Теперь решим неравенство $D \le 0$: $36 - 4a \le 0$ $36 \le 4a$ $a \ge 9$.
Ответ: $a \in [9; +\infty)$.

2) Дано неравенство $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0$. Это квадратичное неравенство. График функции $y = x^2 - (a + 1)x + 3a - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1$). Неравенство требует найти значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс ($y < 0$). Чтобы это неравенство не имело решений, график функции должен полностью находиться над осью абсцисс или касаться её, то есть для всех $x$ должно выполняться условие $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 \ge 0$. Это возможно только в том случае, если соответствующее квадратное уравнение $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 = 0$ имеет не более одного действительного корня, то есть его дискриминант $D \le 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-(a + 1))^2 - 4(1)(3a - 5) = (a + 1)^2 - 4(3a - 5)$ $D = (a^2 + 2a + 1) - (12a - 20) = a^2 - 10a + 21$. Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$: $a^2 - 10a + 21 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 10a + 21 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $a_1 = 3$ и $a_2 = 7$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $a^2 - 10a + 21 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Следовательно, $3 \le a \le 7$.
Ответ: $a \in [3; 7]$.

3) Дано неравенство $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0$. Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $a = 0$. При $a=0$ неравенство вырождается в линейное: $0 \cdot x^2 + (0 - 1)x + (0 - 1) < 0$ $-x - 1 < 0$ $-x < 1$ $x > -1$. Это неравенство имеет бесконечно много решений (все $x$ из интервала $(-1; +\infty)$), поэтому значение $a=0$ нам не подходит.
Случай 2: $a \ne 0$. В этом случае мы имеем квадратичное неравенство. Чтобы оно не имело решений, необходимо, чтобы парабола $y = ax^2 + (a - 1)x + (a - 1)$ всегда принимала неотрицательные значения, то есть $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) \ge 0$ для всех действительных $x$. Это условие выполняется, когда одновременно верны два утверждения: 1. Ветви параболы направлены вверх, то есть старший коэффициент положителен: $a > 0$. 2. Парабола не пересекает ось абсцисс или касается её в одной точке, то есть дискриминант $D \le 0$.
Найдем дискриминант: $D = (a - 1)^2 - 4a(a - 1) = (a - 1)(a - 1 - 4a) = (a - 1)(-3a - 1)$. Решим неравенство $D \le 0$: $(a - 1)(-3a - 1) \le 0$. Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $(a - 1)(3a + 1) \ge 0$. Корнями уравнения $(a - 1)(3a + 1) = 0$ являются $a=1$ и $a=-1/3$. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty)$.
Теперь нам нужно найти пересечение решений двух условий ($a>0$ и $D \le 0$): $\begin{cases} a > 0 \\ a \in (-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty) \end{cases}$ Общим решением системы является промежуток $a \ge 1$.
Ответ: $a \in [1; +\infty)$.

437. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 3x - 1 \le 0, \\ x < a. \end{cases}$

1)

Сначала решим первое неравенство системы: $x^2 - 5x + 4 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4$, решив уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами отрезка между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Теперь мы должны найти пересечение этого множества решений со вторым неравенством системы, $x > a$. Для этого рассмотрим, как изменяется решение в зависимости от значения параметра $a$ относительно точек $1$ и $4$.

• Если $a < 1$, то интервал $(a; +\infty)$ пересекается с обоими интервалами $(-\infty; 1)$ и $(4; +\infty)$. Пересечение дает два интервала: $(a; 1)$ и $(4; +\infty)$. Решение системы: $x \in (a; 1) \cup (4; +\infty)$.

• Если $1 \leq a < 4$, то интервал $(a; +\infty)$ пересекается только с интервалом $(4; +\infty)$. Пересечение с $(-\infty; 1)$ пусто. Решение системы: $x \in (4; +\infty)$.

• Если $a \geq 4$, то интервал $(a; +\infty)$ является подмножеством интервала $(4; +\infty)$. Пересечение множества решений первого неравенства с интервалом $(a; +\infty)$ дает сам интервал $(a; +\infty)$. Решение системы: $x \in (a; +\infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (a; 1) \cup (4; +\infty)$; если $1 \leq a < 4$, то $x \in (4; +\infty)$; если $a \geq 4$, то $x \in (a; +\infty)$.

2)

Сначала решим первое неравенство системы: $4x^2 - 3x - 1 \leq 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 3x - 1$, решив уравнение $4x^2 - 3x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 3x - 1 \leq 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [-\frac{1}{4}; 1]$.

Теперь мы должны найти пересечение этого множества решений со вторым неравенством системы, $x < a$. Для этого рассмотрим, как изменяется решение в зависимости от значения параметра $a$ относительно точек $-\frac{1}{4}$ и $1$.

• Если $a \leq -\frac{1}{4}$, то интервал $(-\infty; a)$ не имеет общих точек с отрезком $[-\frac{1}{4}; 1]$. В этом случае система не имеет решений.

• Если $-\frac{1}{4} < a \leq 1$, то пересечением интервала $(-\infty; a)$ и отрезка $[-\frac{1}{4}; 1]$ является полуинтервал $[-\frac{1}{4}; a)$. Решение системы: $x \in [-\frac{1}{4}; a)$.

• Если $a > 1$, то отрезок $[-\frac{1}{4}; 1]$ целиком содержится в интервале $(-\infty; a)$. Их пересечением является сам отрезок $[-\frac{1}{4}; 1]$. Решение системы: $x \in [-\frac{1}{4}; 1]$.

Ответ: если $a \leq -\frac{1}{4}$, то решений нет; если $-\frac{1}{4} < a \leq 1$, то $x \in [-\frac{1}{4}; a)$; если $a > 1$, то $x \in [-\frac{1}{4}; 1]$.

438. Для каждого значения a решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 72 < 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 9x + 8 > 0, \\ x < a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x - 72 < 0, \\ x > a; \end{cases}$

Сначала решим первое, квадратное неравенство: $x^2 - x - 72 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 72 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -8$ и $x_2 = 9$ (так как $-8 + 9 = 1$ и $-8 \cdot 9 = -72$).

Графиком функции $y = x^2 - x - 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение первого неравенства есть интервал $x \in (-8, 9)$.

Второе неравенство системы $x > a$ задает множество $x \in (a, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение полученных множеств: $(-8, 9) \cap (a, +\infty)$. Результат пересечения зависит от расположения точки $a$ относительно интервала $(-8, 9)$.

• Если $a$ находится левее левой границы интервала, то есть $a < -8$, то интервал $(-8, 9)$ полностью входит в интервал $(a, +\infty)$. Их пересечением будет $(-8, 9)$.
• Если $a$ находится внутри интервала или совпадает с его левой границей, то есть $-8 \le a < 9$, то пересечением будет интервал $(a, 9)$.
• Если $a$ находится правее правой границы интервала или совпадает с ней, то есть $a \ge 9$, то интервалы не пересекаются, и решений нет.

Ответ: если $a < -8$, то $x \in (-8, 9)$; если $-8 \le a < 9$, то $x \in (a, 9)$; если $a \ge 9$, то решений нет.

2)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 8 > 0, \\ x < a. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 9x + 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$ (так как $1 + 8 = 9$ и $1 \cdot 8 = 8$).

Парабола $y = x^2 - 9x + 8$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции больше нуля вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty)$.

Второе неравенство системы $x < a$ задает множество $x \in (-\infty, a)$.

Решение системы — это пересечение множеств $((-\infty, 1) \cup (8, +\infty)) \cap (-\infty, a)$. Результат зависит от расположения точки $a$ относительно точек $1$ и $8$.

• Если $a \le 1$, то интервал $(-\infty, a)$ целиком содержится в $(-\infty, 1)$ и не пересекается с $(8, +\infty)$. Решением будет $x \in (-\infty, a)$.
• Если $1 < a \le 8$, то интервал $(-\infty, a)$ полностью покрывает $(-\infty, 1)$, но не пересекается с $(8, +\infty)$. Их пересечением будет интервал $(-\infty, 1)$.
• Если $a > 8$, то интервал $(-\infty, a)$ пересекается с обоими частями множества решений первого неравенства. Пересечение с $(-\infty, 1)$ дает $(-\infty, 1)$, а пересечение с $(8, +\infty)$ дает $(8, a)$. Решением является объединение этих двух интервалов: $(-\infty, 1) \cup (8, a)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, a)$; если $1 < a \le 8$, то $x \in (-\infty, 1)$; если $a > 8$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (8, a)$.

439. Упростите выражение:

1) $\frac{x^2 + 3xy}{x + 6} : \frac{x^2 - 9y^2}{2x + 12}$;

2) $\frac{4a^2 - 12ab + 9b^2}{2a^2 - 8b^2} : \frac{2a^2 - 8ab + 8b^2}{6a - 9b}$.

1)

Чтобы упростить выражение, сначала заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{x^2 + 3xy}{x + 6} : \frac{x^2 - 9y^2}{2x + 12} = \frac{x^2 + 3xy}{x + 6} \cdot \frac{2x + 12}{x^2 - 9y^2}$.

Далее, разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя вынесение общего множителя и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
- $x^2 + 3xy = x(x + 3y)$
- $x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$
- $2x + 12 = 2(x + 6)$

Подставим полученные разложения в выражение:
$\frac{x(x + 3y)}{x + 6} \cdot \frac{2(x + 6)}{(x - 3y)(x + 3y)}$

Теперь сократим общие множители $(x + 6)$ и $(x + 3y)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{x \cdot (x + 3y) \cdot 2 \cdot (x + 6)}{(x + 6) \cdot (x - 3y) \cdot (x + 3y)} = \frac{2x}{x - 3y}$

Ответ: $\frac{2x}{x - 3y}$

2)

Для упрощения выражения, разложим числители и знаменатели обеих дробей на множители.

Факторизуем каждый многочлен, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:
- $4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = (2a - 3b)^2$ (квадрат разности).
- $2a^2 - 8b^2 = 2(a^2 - 4b^2) = 2(a - 2b)(a + 2b)$ (вынесение множителя и разность квадратов).
- $2a^2 - 8ab + 8b^2 = 2(a^2 - 4ab + 4b^2) = 2(a - 2b)^2$ (вынесение множителя и квадрат разности).
- $6a - 9b = 3(2a - 3b)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные многочлены обратно в выражение:
$\frac{(2a - 3b)^2}{2(a - 2b)(a + 2b)} \cdot \frac{2(a - 2b)^2}{3(2a - 3b)}$

Выполним сокращение общих множителей. Сокращаем $2$, один множитель $(a - 2b)$ и один множитель $(2a - 3b)$:
$\frac{(2a - 3b) \cdot (2a - 3b) \cdot 2 \cdot (a - 2b) \cdot (a - 2b)}{2 \cdot (a - 2b) \cdot (a + 2b) \cdot 3 \cdot (2a - 3b)} = \frac{(2a - 3b)(a - 2b)}{3(a + 2b)}$

Ответ: $\frac{(2a - 3b)(a - 2b)}{3(a + 2b)}$

440. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицей квадратов и калькулятором:

1) $\sqrt{20 \cdot 66 \cdot 330}$;

2) $\sqrt{3^5 \cdot 12^3}$;

3) $2\sqrt{18} \cdot 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{15}$;

4) $6\sqrt{10} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{20 \cdot 66 \cdot 330}$, разложим числа под корнем на удобные множители, стараясь выделить одинаковые сомножители или полные квадраты.

Заметим, что $330 = 5 \cdot 66$. Подставим это в выражение:

$\sqrt{20 \cdot 66 \cdot 330} = \sqrt{20 \cdot 66 \cdot (5 \cdot 66)} = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 66 \cdot 66} = \sqrt{100 \cdot 66^2}$

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получаем:

$\sqrt{100 \cdot 66^2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{66^2} = 10 \cdot 66 = 660$

Ответ: 660.

2) Для нахождения значения выражения $\sqrt{3^5 \cdot 12^3}$, представим число 12 в виде произведения простых множителей и воспользуемся свойствами степеней.

$12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3^5 \cdot 12^3} = \sqrt{3^5 \cdot (3 \cdot 2^2)^3} = \sqrt{3^5 \cdot 3^3 \cdot (2^2)^3} = \sqrt{3^{5+3} \cdot 2^{2 \cdot 3}} = \sqrt{3^8 \cdot 2^6}$

Так как $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, извлечем корень:

$\sqrt{3^8 \cdot 2^6} = \sqrt{3^8} \cdot \sqrt{2^6} = 3^{8/2} \cdot 2^{6/2} = 3^4 \cdot 2^3$

Вычислим результат:

$3^4 \cdot 2^3 = 81 \cdot 8 = 648$

Ответ: 648.

3) Чтобы найти значение выражения $2\sqrt{18} \cdot 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{15}$, сгруппируем множители перед корнями и подкоренные выражения отдельно.

$2\sqrt{18} \cdot 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{15} = (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot \sqrt{18 \cdot 30 \cdot 15} = 30 \sqrt{18 \cdot 30 \cdot 15}$

Теперь разложим числа под корнем на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 3 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$30\sqrt{(2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)} = 30\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5} = 30\sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$

Извлечем корень:

$30 \cdot (\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2}) = 30 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) = 30 \cdot (2 \cdot 9 \cdot 5) = 30 \cdot 90$

Вычислим окончательное значение:

$30 \cdot 90 = 2700$

Ответ: 2700.

4) Для нахождения значения выражения $6\sqrt{10} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$, внесем все под один корень.

$6\sqrt{10} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50} = 6\sqrt{10 \cdot 45 \cdot 50}$

Разложим подкоренные числа на множители так, чтобы было удобно извлекать корень:

$45 = 5 \cdot 9$

$50 = 5 \cdot 10$

Подставим эти значения в выражение:

$6\sqrt{10 \cdot (5 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 10)} = 6\sqrt{(10 \cdot 10) \cdot (5 \cdot 5) \cdot 9} = 6\sqrt{10^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2}$

Извлечем корень из произведения квадратов:

$6\sqrt{(10 \cdot 5 \cdot 3)^2} = 6 \cdot (10 \cdot 5 \cdot 3) = 6 \cdot 150$

Вычислим результат:

$6 \cdot 150 = 900$

Ответ: 900.