Номер 437, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

437. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 3x - 1 \le 0, \\ x < a. \end{cases}$

1)

Сначала решим первое неравенство системы: $x^2 - 5x + 4 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4$, решив уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами отрезка между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Теперь мы должны найти пересечение этого множества решений со вторым неравенством системы, $x > a$. Для этого рассмотрим, как изменяется решение в зависимости от значения параметра $a$ относительно точек $1$ и $4$.

• Если $a < 1$, то интервал $(a; +\infty)$ пересекается с обоими интервалами $(-\infty; 1)$ и $(4; +\infty)$. Пересечение дает два интервала: $(a; 1)$ и $(4; +\infty)$. Решение системы: $x \in (a; 1) \cup (4; +\infty)$.

• Если $1 \leq a < 4$, то интервал $(a; +\infty)$ пересекается только с интервалом $(4; +\infty)$. Пересечение с $(-\infty; 1)$ пусто. Решение системы: $x \in (4; +\infty)$.

• Если $a \geq 4$, то интервал $(a; +\infty)$ является подмножеством интервала $(4; +\infty)$. Пересечение множества решений первого неравенства с интервалом $(a; +\infty)$ дает сам интервал $(a; +\infty)$. Решение системы: $x \in (a; +\infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (a; 1) \cup (4; +\infty)$; если $1 \leq a < 4$, то $x \in (4; +\infty)$; если $a \geq 4$, то $x \in (a; +\infty)$.

2)

Сначала решим первое неравенство системы: $4x^2 - 3x - 1 \leq 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 3x - 1$, решив уравнение $4x^2 - 3x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 3x - 1 \leq 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [-\frac{1}{4}; 1]$.

Теперь мы должны найти пересечение этого множества решений со вторым неравенством системы, $x < a$. Для этого рассмотрим, как изменяется решение в зависимости от значения параметра $a$ относительно точек $-\frac{1}{4}$ и $1$.

• Если $a \leq -\frac{1}{4}$, то интервал $(-\infty; a)$ не имеет общих точек с отрезком $[-\frac{1}{4}; 1]$. В этом случае система не имеет решений.

• Если $-\frac{1}{4} < a \leq 1$, то пересечением интервала $(-\infty; a)$ и отрезка $[-\frac{1}{4}; 1]$ является полуинтервал $[-\frac{1}{4}; a)$. Решение системы: $x \in [-\frac{1}{4}; a)$.

• Если $a > 1$, то отрезок $[-\frac{1}{4}; 1]$ целиком содержится в интервале $(-\infty; a)$. Их пересечением является сам отрезок $[-\frac{1}{4}; 1]$. Решение системы: $x \in [-\frac{1}{4}; 1]$.

Ответ: если $a \leq -\frac{1}{4}$, то решений нет; если $-\frac{1}{4} < a \leq 1$, то $x \in [-\frac{1}{4}; a)$; если $a > 1$, то $x \in [-\frac{1}{4}; 1]$.