Номер 431, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

431. Решите неравенство:

1) $ |x| \cdot (x^2 + 3x - 10) < 0; $

2) $ \sqrt{x(x^2 + 2x - 8)} \leq 0; $

3) $ (x - 2)^2 (x^2 - 8x - 9) < 0; $

4) $ (x + 5)^2 (x^2 - 2x - 15) > 0; $

5) $ \frac{x^2 + 7x - 8}{(x - 4)^2} \geq 0; $

6) $ \frac{x^2 + 10x - 11}{(x + 3)^2} \leq 0. $

1) $|x| \cdot (x^2 + 3x - 10) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Множитель $|x|$ является неотрицательным при любом значении $x$, то есть $|x| \ge 0$.

Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы $|x|$ был строго больше нуля, а второй множитель был строго меньше нуля.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} |x| > 0 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства системы следует, что $x \ne 0$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 < 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -10$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 10$ ветвями направлена вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства $x^2 + 3x - 10 < 0$ есть интервал $(-5, 2)$.

Теперь объединим оба условия системы: $x \in (-5, 2)$ и $x \ne 0$.

Исключая точку $x=0$ из интервала $(-5, 2)$, получаем решение исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-5, 0) \cup (0, 2)$.

2) $\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) \le 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Множитель $\sqrt{x}$ также является неотрицательным для всех $x$ из ОДЗ. Неравенство $\le 0$ выполняется в двух случаях:

Случай 1: Выражение равно нулю.

$\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) = 0$

Это возможно, если $\sqrt{x} = 0$ или $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Из $\sqrt{x} = 0$ следует $x=0$. Это значение входит в ОДЗ.

Из $x^2 + 2x - 8 = 0$ по теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Корень $x_1 = -4$ не входит в ОДЗ ($x \ge 0$), а корень $x_2 = 2$ входит.

Таким образом, решениями являются $x=0$ и $x=2$.

Случай 2: Выражение строго меньше нуля.

$\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) < 0$

Так как $\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$, это неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 + 2x - 8 < 0 \end{cases} $$

Решение неравенства $x^2 + 2x - 8 < 0$ (или $(x+4)(x-2) < 0$) есть интервал $(-4, 2)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 0$: $x \in (0, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x \in \{0, 2\} \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

3) $(x - 2)^2(x^2 - 8x - 9) < 0$

Множитель $(x-2)^2$ является неотрицательным при любом значении $x$, то есть $(x-2)^2 \ge 0$.

Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-2)^2$ был строго положителен, а второй множитель был строго отрицателен.

Это равносильно системе:

$$ \begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ x^2 - 8x - 9 < 0 \end{cases} $$

Первое неравенство $(x-2)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=2$. То есть $x \ne 2$.

Решим второе неравенство $x^2 - 8x - 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 8x - 9$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x - 9 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1, 9)$.

Теперь объединим условия системы: $x \in (-1, 9)$ и $x \ne 2$.

Исключаем точку $x=2$ из интервала $(-1, 9)$.

Ответ: $x \in (-1, 2) \cup (2, 9)$.

4) $(x + 5)^2(x^2 - 2x - 15) > 0$

Множитель $(x+5)^2$ является неотрицательным при любом значении $x$.

Чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть строго положительны.

Это равносильно системе:

$$ \begin{cases} (x+5)^2 > 0 \\ x^2 - 2x - 15 > 0 \end{cases} $$

Первое неравенство $(x+5)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=-5$. То есть $x \ne -5$.

Решим второе неравенство $x^2 - 2x - 15 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 15 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.

Теперь объединим условия системы: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$ и $x \ne -5$.

Точка $x=-5$ находится в интервале $(-\infty, -3)$, поэтому мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup (5, +\infty)$.

5) $\frac{x^2 + 7x - 8}{(x - 4)^2} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $(x-4)^2 \ne 0$, откуда $x \ne 4$.

Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \ne 4$. Поэтому знак дроби зависит только от знака числителя.

Неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 + 7x - 8 \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases} $$

Решим неравенство $x^2 + 7x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Парабола $y = x^2 + 7x - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + 7x - 8 \ge 0$ выполняется при $x \le -8$ или $x \ge 1$. То есть $x \in (-\infty, -8] \cup [1, +\infty)$.

Теперь учтем условие $x \ne 4$. Точка $x=4$ находится в промежутке $[1, +\infty)$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [1, 4) \cup (4, +\infty)$.

6) $\frac{x^2 + 10x - 11}{(x + 3)^2} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $(x+3)^2 \ne 0$, откуда $x \ne -3$.

Знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен при $x \ne -3$. Поэтому для выполнения неравенства $\le 0$ необходимо, чтобы числитель был меньше или равен нулю.

Неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 + 10x - 11 \le 0 \\ x \ne -3 \end{cases} $$

Решим неравенство $x^2 + 10x - 11 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 10x - 11 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -11$.

Парабола $y = x^2 + 10x - 11$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 + 10x - 11 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни): $x \in [-11, 1]$.

Теперь учтем условие $x \ne -3$. Точка $x=-3$ находится в отрезке $[-11, 1]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-11, -3) \cup (-3, 1]$.