Номер 438, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

438. Для каждого значения a решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 72 < 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 9x + 8 > 0, \\ x < a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x - 72 < 0, \\ x > a; \end{cases}$

Сначала решим первое, квадратное неравенство: $x^2 - x - 72 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 72 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -8$ и $x_2 = 9$ (так как $-8 + 9 = 1$ и $-8 \cdot 9 = -72$).

Графиком функции $y = x^2 - x - 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение первого неравенства есть интервал $x \in (-8, 9)$.

Второе неравенство системы $x > a$ задает множество $x \in (a, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение полученных множеств: $(-8, 9) \cap (a, +\infty)$. Результат пересечения зависит от расположения точки $a$ относительно интервала $(-8, 9)$.

• Если $a$ находится левее левой границы интервала, то есть $a < -8$, то интервал $(-8, 9)$ полностью входит в интервал $(a, +\infty)$. Их пересечением будет $(-8, 9)$.
• Если $a$ находится внутри интервала или совпадает с его левой границей, то есть $-8 \le a < 9$, то пересечением будет интервал $(a, 9)$.
• Если $a$ находится правее правой границы интервала или совпадает с ней, то есть $a \ge 9$, то интервалы не пересекаются, и решений нет.

Ответ: если $a < -8$, то $x \in (-8, 9)$; если $-8 \le a < 9$, то $x \in (a, 9)$; если $a \ge 9$, то решений нет.

2)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 8 > 0, \\ x < a. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 9x + 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$ (так как $1 + 8 = 9$ и $1 \cdot 8 = 8$).

Парабола $y = x^2 - 9x + 8$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции больше нуля вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty)$.

Второе неравенство системы $x < a$ задает множество $x \in (-\infty, a)$.

Решение системы — это пересечение множеств $((-\infty, 1) \cup (8, +\infty)) \cap (-\infty, a)$. Результат зависит от расположения точки $a$ относительно точек $1$ и $8$.

• Если $a \le 1$, то интервал $(-\infty, a)$ целиком содержится в $(-\infty, 1)$ и не пересекается с $(8, +\infty)$. Решением будет $x \in (-\infty, a)$.
• Если $1 < a \le 8$, то интервал $(-\infty, a)$ полностью покрывает $(-\infty, 1)$, но не пересекается с $(8, +\infty)$. Их пересечением будет интервал $(-\infty, 1)$.
• Если $a > 8$, то интервал $(-\infty, a)$ пересекается с обоими частями множества решений первого неравенства. Пересечение с $(-\infty, 1)$ дает $(-\infty, 1)$, а пересечение с $(8, +\infty)$ дает $(8, a)$. Решением является объединение этих двух интервалов: $(-\infty, 1) \cup (8, a)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, a)$; если $1 < a \le 8$, то $x \in (-\infty, 1)$; если $a > 8$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (8, a)$.